Zbieżność i monotoniczność ciągu naprzemiennego, podciąg

[ziela474]

Witam. Mam problem ze zbadaniem zbieżności, monotoniczności i znalezieniem podciągu zbieżnego do zera, oraz muszę określić czy ciąg jest ograniczony

\(\displaystyle{ a_n=1+ (-1)^{n}}\)
\(\displaystyle{ b_n=\frac{-1 ^{n} }{ n^{2} }}\)

Czy do określenia zbieżności wystarczy odliczyć granice? Dowód jest dość ważny, na egzaminie pani doktor wymaga aby wszystko było na tiptop

z góry dziękuję za pomoc

[mostostalek]

Jeżeli granica istnieje i jest właściwa to ciąg jest zbieżny.. Pierwszy ciąg:

Granica nie istnieje.. Zatem ciąg nie jest zbieżny..
Zobacz jak wygląda ten ciąg: Co drugi wyraz ciągu począwszy od pierwszego wynosi 0, natomiast co drugi wyraz począwszy od drugiego wynosi 1.
Podciąg zbieżny do 0: \(\displaystyle{ a_{2n-1}}\)
Jak widać monotoniczny również nie jest..
Natomiast jak najbardziej jest ograniczony.

Drugi ciąg..
Jest zbieżny do 0
Oczywiście jak każdy ciąg naprzemienny nie jest monotoniczny..
Podciąg zbieżny do 0 - cały ciąg jest zbieżny do 0 więc każdy podciąg również będzie zbieżny do 0..
Jest ograniczony..

[ziela474]

Dzięki za odpowiedź jeszcze jedno pytanie, czy jest jakieś stricte matematyczne uzasadnienie tego? No bo to ze ciąg jest np naprzemienny widać od razu, ale jak to zapisać matematycznie (jeśli wyjaśniłem niejasno, to zobrazuje to na przykładzie: ciąg jest rosnący wtedy, gdy dla każdego \(\displaystyle{ a_n<a_n+1}\).) Taki sam problem mam z podciągiem, tzn nie wiem jak go znaleźć. Możliwe że jest to banalne, ale niestety nie zrozumiałem tego do końca

[mostostalek]

Ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ a}\) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podciąg jest zbieżny do \(\displaystyle{ a}\).. Wybierz dowolny

Aby dowieść tego, że ciąg nie jest monotoniczny wystarczy podać kontrprzykład jego monotoniczności..

Weźmy 3 pierwsze wyrazy ciągu \(\displaystyle{ b_n}\)

\(\displaystyle{ b_1=-1 \\ b_2=\frac{1}{4} \\ b_3=-\frac{1}{9}}\)

Zauważmy dalej, że \(\displaystyle{ b_1<b_2>b_3}\) zatem ciąg nie jest monotoniczny.

[ziela474]

Dzięki wielkie Myślę, że teraz już sobie z tym poradzę