Granica ciągu

[lokas]

Dla mnie wynik jest oczywisty ale jak to obliczyć, żeby inni się nie czepiali?
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } (n!)^{ \frac{-1}{2n} }}\)

[AndrzejK]

\(\displaystyle{ (n!)^\frac{-1}{2n}=e^{\ln(n!)^\frac{-1}{2n}}=e^{\frac{-\ln(n!)}{2n}}}\)
Wystarczy policzyć granicę w wykładniku:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{-\ln(n!)}{2n}=...}\)

Do jej obliczenia wystarczy skorzystać z faktu, że:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{\ln (n!)}{n \ln n}=1}\)

[lokas]

Nie rozumiem Twojego rozwiązania. Do obliczenia jednej granicy każesz wykorzystać fakt, który jest jeszcze bardziej skomplikowany do obliczenia niż wyjściowa granica. Bez sensu jak dla mnie.

[a4karo]

Nie rozumiem Twojego rozwiązania. Do obliczenia jednej granicy każesz wykorzystać fakt, który jest jeszcze bardziej skomplikowany do obliczenia niż wyjściowa granica. Bez sensu jak dla mnie.

A skąd my biedaczki mamy wiedzieć jakiej genialnej metody użyłeś, żeby policzyć tę granice. Pokaż swoje rachunki, to porozmawiamy, a nie zarzucaj innym, że robią rzeczy bez sensu.

[lokas]

Mówię o tym kolego. O żadnych rachunkach nie wspominałem tylko spojrzałem na to.

Wystarczy policzyć granicę w wykładniku:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{-\ln(n!)}{2n}=...}\)

Do jej obliczenia wystarczy skorzystać z faktu, że:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{\ln (n!)}{n \ln n}=1}\)

Radzę potrenować zadania z czytania ze zrozumieniem, które dzieci mają w podstawówce.

[AndrzejK]

Do obliczenia jednej granicy każesz wykorzystać fakt, który jest jeszcze bardziej skomplikowany do obliczenia niż wyjściowa granica.

Słucham? Przecież ta granica jest prosta i bardzo intuicyjna:

Najpierw wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ n^n \ge n!}\), co jest bardzo intuicyjne jak rozpiszesz sobie iloczyn. Stąd mamy \(\displaystyle{ n \ln n \ge \ln (n!) \Leftrightarrow \frac{\ln (n!)}{n \ln n} \le 1}\).

Teraz można strzelić z armaty i wykorzystać aproksymację Stirlinga (co zgoda, już nie będzie takie intuicyjne, ale dalej proste), która prowadzi do takiej nierówności:
\(\displaystyle{ n \ln n - n < \ln (n!) \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{\ln n} < \frac{\ln (n!)}{n \ln n}}\)
Oczywiście lewa strona dąży do jedynki, co daje jednoznaczną odpowiedź.

Ale oczywiście nie trzeba popisywać się wiedzą, tylko intuicją:
Wcześniej pokazaliśmy, że \(\displaystyle{ n \ln n \ge \ln (n!)}\). Wystarczy się tym chwilę pobawić żeby stwierdzić, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}=\lim_{ n\to \infty } \frac{\frac{n}{2} \ln \frac{n}{2}}{n \ln n} \le \lim_{ n\to \infty } \frac{\ln (n!)}{n \ln n}}\).


Kontynuując tę arcytrudną i bezsensowną zabawę na poziomie liceum otrzymamy, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{\ln (n!)}{n \ln n} \ge \lim_{ n\to \infty } \frac{\frac{3n}{4} \ln \frac{3n}{4}}{n \ln n} \ge \frac{3}{4}}\).

I tak postępując coraz dalej wykażemy, że szukana granica jest zawsze większa od każdej liczby mniejszej od jeden, co jest równoważne z tezą (oczywiście trzeba sformalizować zapis). Taka zabawa w szacowanie logarytmów jest na poziomie liceum, więc nie wiem co jest w tym skomplikowanego. Może pokaż jakiś lepszy pomysł skoro krytykujesz mój?-- 3 maja 2015, o 10:30 --

Radzę potrenować zadania z czytania ze zrozumieniem, które dzieci mają w podstawówce.

Wybacz, ale to już jest przegięcie. Radzę potrenować elementarne zasady kultury, które dzieci uczą się od rodziców od urodzenia .

[Premislav]

Można też skorzystać z następującego lematu: jeśli\(\displaystyle{ (a_{n})_{n \in \NN}}\) jest ciągiem liczbowym o wyrazach dodatnich, to
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=g \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a_{n}}=g}\)
Albo szacowanko \(\displaystyle{ n! \ge \left(\frac{n}{e}\right)^{n}}\)-- 3 maja 2015, o 10:51 --PS Właściwie, to nie wiem, czemu tu odpowiadam, bo można tu zaobserwować Twoje skandaliczne zachowanie, lokas.

[lokas]

AndrzejK dziękuję na wyjaśnienie skąd wzięła się tak intuicyjna granica. A co do zasad kultury, to po prostu nie lubię jak ktoś wtrąca się z komentarzami, które nic nie wnoszą do tematu.