Udowodnić nierówność

[ad0803]

Dla \(\displaystyle{ 0<x<1}\) udowodnić nierówność \(\displaystyle{ \ln \frac{1}{1-x} < \frac{x}{1-x}}\).

[yorgin]

Zdefiniuj funkcję

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{1-x}-\ln\frac{1}{1-x}}\)

i pokaż, że pochodna jest dodatnia w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\). Plus \(\displaystyle{ f(0)=0}\).

[Dasio11]

Można też zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x} = 1 + \frac{x}{1-x},}\) co sprowadza problem do znanej nierówności \(\displaystyle{ \ln(1+y) < y.}\)