Oszacuj maksymalny bład funkcji

[refluks]

Nie wiem czy to dobry temat, ale potrzebuje pomocy, wzory czy moze jakies wskazowki ewentualnie rozwiazanie:
Oszacuj maksymalny bład funkcji
\(\displaystyle{ y(x_{1} , x_{2}, x_{3}, x_{4}) = \sin(\cos(x_{1} \mbox{·} x_{2})) + \frac{x_{3}}{x_{4}}

x_{1} = 0 \pm 0.01\ ,

x_{2} = 1.5 \pm 0.02\ ,

x_{3} = 0.5 \pm 0.03\ ,

x_{4} = 3.2 \pm 0.01\ .}\)

[Jakuss]

możesz z różniczek:
\(\displaystyle{ \Delta y = \frac{ \partial y}{ \partial x_1} \Delta x_1 + \frac{ \partial y}{ \partial x_2} \Delta x_2 + \frac{ \partial y}{ \partial x_3} \Delta x_3 + \frac{ \partial y}{ \partial x_4} \Delta x_4}\)
Ewentualnie można wstawić za każdą zmienną zmienna+błąd, zmienna-błąd i sprawdzać.
Zrób jak Ci wygodniej

[refluks]

Hmmmm, wolalbym uniknac calek czy rozniczek poniewaz ich nie umiem, jest jakas inna metoda? na czym polega ze wstawianiem zmiennej + blad i sprawdzaniu bo niezbyt rozumiem

[Jakuss]

\(\displaystyle{ \Delta y = y(0, 1.5, 0.5, 3.2)-y(0 \pm 0.01, 1.5 \pm 0.02, 0.5 \pm 0.03, 3.2 \pm 0.01)}\)
Tylko jest to mało wydajna metoda, bo trzeba liczyć ~15 razy

[refluks]

Hmmmm, 15 razy, ale jakie co zmieniac w nastepnych przykladach? co sie dzieje z sin cos? i jak mam policzyc wtedy ± miedzy liczbami?

[SlotaWoj]

Maksymalny błąd iloczynu \(\displaystyle{ x_1\mbox{·}x_2}\) to:

• \(\displaystyle{ 0,01\mbox{·}1,52-0=0,0152}\)

Maksymalny błąd składnika \(\displaystyle{ \sin\left(\cos x_1\mbox{·}x_2\right)}\), to:

• \(\displaystyle{ \sin\left(\cos 0,0152\right)-\sin\left(\cos 0\right)=-6,242\mbox{·}10^{-5}}\)

Maksymalny błąd ilorazu \(\displaystyle{ \frac{x_3}{x_4}}\) to:

• \(\displaystyle{ \frac{0,53}{3,19}-\frac{0,5}{3,2}=0,00989}\)

Maksymalny błąd funkcji \(\displaystyle{ y(x_1;x_2;x_3;x_4)}\) w zadanym punkcie to:

• \(\displaystyle{ \newrgbcolor{mygray}{0.4 0.4 0.4}\mygray{\sin\left(\cos0,0152\right)+\frac{0,53}{3,19}-\sin\left(\cos0\right)-\frac{0,5}{3,2}=0,00983}}\)

-- 1 maja 2015, o 20:28 --

Przedstawiony powyżej sposób szacowania jest intuicyjny. Aby go sprawdzić, napisałem w Pascalu krótki program, który obliczał możliwe błędy funkcji \(\displaystyle{ y}\) na krawędziach i środkach ścian czterowymiarowej kostki i znajdował błąd maksymalny co do bezwzględnej wartości.

Ze zdziwieniem stwierdziłem że pod względem wartości bezwzględnej błąd całej funkcji dla \(\displaystyle{ x_3=0,47}\) i \(\displaystyle{ x_4=3,21}\) jest nieco większy od podanego powyżej i wynosi \(\displaystyle{ -0,00989}\), mimo że dla samego ilorazu \(\displaystyle{ x_3}\) i \(\displaystyle{ x_4}\) wartość bezwzględna błędu jest mniejsza. Bierze się to stąd, że dla \(\displaystyle{ x_3=0,53}\) i \(\displaystyle{ x_4=3,19}\) błędy składników funkcji są tego przeciwnego znaku i częściowo się znoszą, podczas gdy dla \(\displaystyle{ x_3=0,47}\) i \(\displaystyle{ x_4=3,21}\) tego samego znaku i się kumulują. Stąd wniosek, że podczas szacowania błędów sumy bądź różnicy wyrażeń trzeba koniecznie dodawać wartości bezwzględne błędów składników. Z tego powodu przedstawiona powyżej (jako ostatnia) zależność na maksymalny błąd funkcji \(\displaystyle{ y}\) powinna wyglądać następująco:

• \(\displaystyle{ \left|\sin\left(\cos0,0152\right)-\sin\left(\cos0\right)\right|+\left|\frac{0,53}{3,19}-\frac{0,5}{3,2}\right|=0,00996}\)

-- 1 maja 2015, o 21:18 --

Błąd funkcji \(\displaystyle{ y}\) szacowany wzorem na różniczkę zupełną podanym powyżej przez Jakussa wynosi \(\displaystyle{ 0,00889}\) gdy sumowane są wartości ze znakiem i \(\displaystyle{ 0,00986}\) gdy sumowane są wartości bezwzględne. Różnica wartości \(\displaystyle{ 0,00986}\) w stosunku do podanej wcześniej bierze się stąd, że pochodne cząstkowe \(\displaystyle{ \frac{\partial y}{\partial x_1}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\partial y}{\partial x_2}}\) mają wartość \(\displaystyle{ 0}\) i takąż wartość mają dwa pierwsze składniki różniczki zupełnej, a przy szacowaniu „intuicyjnym” błąd składnika \(\displaystyle{ \sin\left(\cos x_1\mbox{·}x_2\right)}\) jakkolwiek mały, jest mimo wszystko różny od \(\displaystyle{ 0}\).