Zderzenie dwóch samochodów - Prawo zachowania pędu

[adept_c]

Witam,

mam problem z takim przypadkiem.

Dwa samochody o masach \(\displaystyle{ m_{1}}\)i\(\displaystyle{ m_{2}}\)poruszają się w kierunkach wzajemnie prostopadłych odpowiednio z prędkościami \(\displaystyle{ V_{1}}\) i \(\displaystyle{ V_{2}}\), \(\displaystyle{ (V_{1} \perp V_{2})}\). Zderzają się i po zderzeniu dwa zczepione wraki poruszają się po podłożu o współczynniku tarcia \(\displaystyle{ \mu}\), w kierunku tworzącym kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) z \(\displaystyle{ \vec{ V_{1} }}\). Korzystając z prawa zachowania pędu znajdź \(\displaystyle{ tg \alpha}\) oraz wylicz drogę jaką wraki przebędą do momentu zatrzymania (nie korzystaj z pojęcia pracy).




Nie wiem jak się za to zabrać nawet.
Pozdrawiam

[Sambard]

W punkcie zderzenia mamy 2 wektory pędu: \(\displaystyle{ \vec{p_1}}\) i \(\displaystyle{ \vec{p_2}}\). \(\displaystyle{ \tan \alpha = \frac{p_2}{p_1}}\).

[Nesquik]

przed zderzeniem \(\displaystyle{ p_{1}= m_{1}v_{1}}\),\(\displaystyle{ p_{2}=m_{2}v_{2}}\) po zderzeniu \(\displaystyle{ p=(m_{1}+m_{2})v_{1}}\) , analogicznie moge zastosowac zasade zachowania energii kinetycznej i co dalej?

[ares41]

Nesquik, w zapisie wektorowym owszem, ale porównując składowe Twoje rozumowanie jest niepoprawne.

Edit : Oczywiście mam na myśli zapis zasady zachowania pędu.

[kerajs]

Tylko zderzenie idealnie sprężyste spełnia zasadę zachowania energii.

Niech \(\displaystyle{ v _{x} =v _{1} ; v _{y} =v _{2}}\)
Z zasady zachowania pędu mam układ równań
\(\displaystyle{ m _{1}v _{x} =(m _{1}+m _{2}) v ^{'}_{x};

m _{2}v _{y} =(m _{1}+m _{2}) v ^{'}_{y}}\)
gdy wyliczysz
\(\displaystyle{ v ^{'}_{x}}\) i \(\displaystyle{ v ^{'}_{y};}\)
to
\(\displaystyle{ v ^{'}= \sqrt{v ^{'}_{x}+v ^{'}_{y}}}\)

\(\displaystyle{ \tg\alpha = \frac{v ^{'}_{y}}{v ^{'}_{x}}}\)

-- 23 maja 2013, o 14:11 --

Na poruszające się wraki działa siła tarcia \(\displaystyle{ T=\mu (m _{1}+m _{2} )g}\) powodująca opóźnienie \(\displaystyle{ a= \mu g}\)
układam równania tego ruchu:
\(\displaystyle{ s(t)=v ^{'}t- \frac{at ^{2} }{2} :

v(t)=v ^{'}-at}\)
Przyjmując że
\(\displaystyle{ v(t _{koncowe} )=0}\)
obliczysz
\(\displaystyle{ s(t _{koncowe} )}\)

[kitiko]

\(\displaystyle{ v ^{'}= \sqrt{v ^{'}_{x}+v ^{'}_{y}}}\)

Sorry że odkopuje, chciałbym wiedzieć dlaczego tu jest pierwiastek.

[kerajs]

Wektory \(\displaystyle{ \vec{v _{x} ^{'} } , \ \vec{v _{y} ^{'}}}\) sa prostopadłe i mają wartości \(\displaystyle{ v _{x} ^{'}, \ v _{y} ^{'}}\). Między wektorami zachodzi związek \(\displaystyle{ \vec{v ^{'} } =\vec{v _{x} ^{'} } + \vec{v _{y} ^{'}}}\), a wartość wektora wypadkowego jest liczona z Pitagorasa: \(\displaystyle{ v^{'}= \sqrt{ (v _{x} ^{'})^2+ (\ v _{y} ^{'})^2}}\)

Nie mam pojęcia dlaczego brakuje kwadratów pod pierwiastkiem. Okolicznością łagodzącą niech będzie fakt, że był to jeden z moich pierwszych postów wymęczonych w LATEX-ie.

[kitiko]

Aha, a jeśli zderzenie byłoby centralne to po prostu te wartości by się dodały?

Ja mam podobne zadanie z tym że zderzają się pod kątem \(\displaystyle{ 90+ \beta}\) (reszta tak samo), czy to coś zmieni?

No i ten tangens, mam w poleceniu wyliczyć sam kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), jak to zrobić skoro nie mam wartości?

[kerajs]

Ale zderzenie tych samochodów było zderzeniem centralnym.

Jeśli masz dwa samochody (kulki, cząstki) o prędkościach \(\displaystyle{ v _{1}}\) i \(\displaystyle{ v _{2}}\), gdzie kąt miedzy nimi jest taki jak podałeś, to przyjąłbym że:
\(\displaystyle{ \vec{v _{1}}=\left[ v _{1},0\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{v _{2}}=\left[-v _{2}\sin \beta ,v _{2}\cos \beta \right]}\)
i postępowałbym, o ile zderzenie jest idealnie plastyczne (niesprężyste), tak jak pisałem powyżej.

[kitiko]

Nie bardzo rozumiem po co to rozbijać, przecież to się sprowadza do tego samego jakbym nie rozbijał. Czy dzięki temu rozbiciu mam jakoś policzyć kąt alfa? Bo próbuje różne cuda. policzyłem \(\displaystyle{ v'_{1x}, v'_{2x}, v'_{1y} , v'_{2y}}\) ale dalej nie wiem jak z tego alfe skombinować.

[kerajs]

Nie bardzo rozumiem po co to rozbijać, przecież to się sprowadza do tego samego jakbym nie rozbijał. Czy dzięki temu rozbiciu mam jakoś policzyć kąt alfa? Bo próbuje różne cuda. policzyłem \(\displaystyle{ v'_{1x}, v'_{2x}, v'_{1y} , v'_{2y}}\) ale dalej nie wiem jak z tego alfe skombinować.

Pokaż co zrobiłeś i wtedy można będzie sprawdzić poprawność Twoich obliczeń. W sumie, to przydałaby się także treść tego zadania .

PS. na wikipedii i kilku innych stronach też jest że prędkość po zderzeniu to po prostu \(\displaystyle{ u= \frac{ m_{1} v _{1} +m _{2} v _{2} }{ m_{1} +m_{2} }}\) bez liczenia wektora wypadkowego itd., to jak wkońcu jest :X?

Wzór który podajesz dotyczy tylko zderzenia centralnego, plastycznego gdzie prędkości początkowe obu mas mają ten sam kierunek.

Wszędzie gdzie wejde to jest co innego, nawet w książkach, już nie wiem komu mam ufać

Wszędzie jest poprawnie. Różne wzory odnoszą się do rożnych przypadków zderzeń i pewnie stąd Twoje wrażenie ich błędności.

[kitiko]

Treść identyczna tylko ten kąt jest właśnie \(\displaystyle{ 90+ \beta}\) i mam znaleźć kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) a nie tylko \(\displaystyle{ tg \alpha}\). Policzyłem takie coś:

\(\displaystyle{ v'_{1x} = \frac{ m_{1} v _{1} }{ m_{1} +m_{2} }}\)

\(\displaystyle{ v'_{1y} = 0}\)

\(\displaystyle{ v'_{2x} = \frac{ m_{2} \left( -v_{2}sin \beta \right) }{ m_{1}+ m_{2} }}\)

\(\displaystyle{ v'_{2y} = \frac{ m_{2} \left( v_{2}cos \beta \right) }{ m_{1}+ m_{2} }}\)

Wtedy \(\displaystyle{ v'_{1}= \sqrt{(v_{1x})^2+(v_{1y})^2}=\frac{m_{1}v_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\)

oraz \(\displaystyle{ v'_{2}= \sqrt{(v_{2x})^2+(v_{2y})^2}=\frac{m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\)

No i wtedy rozumiem że \(\displaystyle{ v'= \sqrt{(v'_{1})^2+(v'_{2})^2}}\) czyli ten długi pierwiastek który bym pisał rok na tym Latexie. Jak z tego wyliczyć kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)? (jeśli to jest dobrze, a zapewne nie jest )

[kerajs]

\(\displaystyle{ v_{1x} =v_{1}}\)
\(\displaystyle{ v_{1y} = 0}\)
\(\displaystyle{ v_{2x} = -v_{2}sin \beta}\)
\(\displaystyle{ v_{2y} = v_{2}cos \beta}\)

Z zasady zachowania pędu masz :
1. dla kierunku X:
\(\displaystyle{ m_{1}v_{1x}+m_{2}v_{2x}=\left( m_{1}+m_{2} \right) v'_{x}}\)
\(\displaystyle{ m_{1}v_{1}-m_{2}v_{2}sin \beta}=\left( m_{1}+m_{2} \right) v'_{x}}\)
\(\displaystyle{ v'_{x}=....}\)
2. dla kierunku Y:
\(\displaystyle{ m_{1}v_{1y}+m_{2}v_{2y}=\left( m_{1}+m_{2} \right) v'_{y}}\)
\(\displaystyle{ m_{2}v_{2}\cos \beta}=\left( m_{1}+m_{2} \right) v'_{y}}\)
\(\displaystyle{ v'_{y}=....}\)
Długość wektora wypadkowego to \(\displaystyle{ v'= \sqrt{(v'_{x})^2+(v'_{y})^2}}\)
a tangens szukanego kąta : \(\displaystyle{ \tan \alpha = \frac{v'_{y}}{v'_{x}}}\)