Jak obliczyć amplitudę?

[kam51]

Jak obliczyć amplitudę masy na sprężynie mając jedynie(albo aż): okres drgań, częstotiwość, częstość(preðkość kątową), położenie początkowe, masę, współczynnik sprężystości?

[siwymech]

AU

40365492949124524531.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 2170 razy

1.Równanie dynamiczne dla masy m poruszającej wzdłuż osi x:
(1) \(\displaystyle{ m \cdot \ddot x+kx=0}\) /:m,
\(\displaystyle{ \ddot x+ \frac{kx}{m} =0}\),
2.Oznaczamy stosunek;
(2) \(\displaystyle{ \frac{k}{m}=\omega ^{2}, \omega= \sqrt{ \frac{k}{m} }}\)
Teraz otrzymujemy;
(3) \(\displaystyle{ \ddot x= -\omega ^{2}x}\)
.....................................................
3.Równanie (3) jest równaniem różniczkowym rzędu drugiego(równanie liniowe jednorodne- skrót RJ)./
Tw. dotyczące RJ.
Jeśli\(\displaystyle{ y _{1}(x), y_{2}(x)}\) \(\displaystyle{ }\) tworzą układ całek RJ, to każdą całkę y(x) tego równania można wyrazić jako kombinację liniową tych dwóch całek;
(4) \(\displaystyle{ y(x)=C _{1} y _{1}(x)+C _{2} y _{2}(x)}\)
C1 i C2- stałe dowolne,
Wyrażenie (4) jest całką ogólną równania jednorodnego-CORJ.
.......................................................................................
4.Całka ogólna równania(CORJ)
Równanie(3) ma całki \(\displaystyle{ y_{1}(x)= sinx,}\)\(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ y_{2}(x)=cosx}\), ogólnym zaś rozwiązaniem jest na mocy (4);
(5) \(\displaystyle{ x=C _{1} \cdot cos\omega t +C _{2} \cdot sin\omega t}\)
5.Wyznaczenie stałych z warunków początkowych ruchu.
4.1.Podstawiamy do (5) i wyznaczamy C1;
t=0 i \(\displaystyle{ x=x_{0}}\) \(\displaystyle{ }\) i wyznaczamy stałą C1;
(6)\(\displaystyle{ C_{1}= x_{o}}\)
4.2. Stała C2. Różniczkujemy (5) względem czasu;
(7.) \(\displaystyle{ \dot x=-\omega \cdot C_{1} \cdot sin\omega t+\omega \cdot C_{2} \cdot cos\omega t}\)
Wykorzystamy dane poczatkowe:
\(\displaystyle{ \dot x=v _{o}}\) \(\displaystyle{ }\) i t=0
Znajdujemy;
(8) \(\displaystyle{ C_{2}= \frac{v _{o} }{\omega}}\)
5. Wstawiamy stałe do (5) i otrzymujemy rozwiązanie CORJ;
(8)\(\displaystyle{ x=x_{o} \cdot cos\omega t + \frac{v _{o} }{\omega} \cdot sin\omega t.}\)
......................................................
Pokażemy, że równanie(8) obrazuje ruch harmoniczny wprowadzając stałe do tego równania;
(9) \(\displaystyle{ x _{o}=A \cdot sin\phi}\)
(10)\(\displaystyle{ \frac{v _{o} }{\omega}=A \cdot cos\phi}\)

(11\(\displaystyle{ )x=A( sin\phi\cdot cos\omega t + cos\phi \cdot sin\omega t)}\)
Po wykorzystaniu wzoru redukcyjnego\(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ sin( \alpha + \beta )= sin \alpha \cdot cos \beta +sin \beta \cdot cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ \omega t= \alpha}\) ,\(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ \phi = \beta}\)

(12)\(\displaystyle{ x=A \cdot sin(\omega t+\phi)}\)
Lub:
(13) \(\displaystyle{ x=A \cdot sin( \frac{2 \pi }{T} t+\phi)=A \cdot sin(2 \pi \cdot \nu \cdot t+\phi)}\)
...............................................................
Z równań (9) i (10) wyznaczymy stałe;
(13)\(\displaystyle{ A= \sqrt{(x _{o}) ^{2}+ \frac{v _{o} ^{2} }{\omega ^{2} } }}\),
(14) \(\displaystyle{ tg\phi= \frac{\omega \cdot x _{o} }{v _{o} }}\)
.............................................
Drgania masy m zachodzące pod działaniem siły proporcjonalnej do wychylenia od położenia równowagi nazywamy drganiami swobodnymi.
..........................................
x- odchylenie od pewnego położenia,
t- czas,
A- amplituda ruchu/ Gdy rośnie czas, to rośnie argument \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ \omega t}\) i sinus tego wyrażenia przybiera okresowo wartości: -A, do +A. Masa m porusza się tam i z powrotem wzdłuż osi x.
\(\displaystyle{ \omega}\), - częstość ruchu,
\(\displaystyle{ \omega= \frac{2 \pi }{T}}\)
\(\displaystyle{ T= \frac{2 \pi }{ \omega }=2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }}\) -okres drgań - czas po upływie, którego masa m wraca do pierwotnego (pierwszego) swego położenia-. Ruch się powtarza.
\(\displaystyle{ \nu=1/T}\)- częstotliwość-ilość okresów odbytych w jednostce czasu,
\(\displaystyle{ \phi}\) faza początkowa ruchu(kąt),
.....................
Symbolika I i II pochodnej
\(\displaystyle{ \dot x,}\) \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ \ddot x}\)

[kam51]

AU

40365492949124524531.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 2170 razy

1.Równanie dynamiczne dla masy m poruszającej wzdłuż osi x:
(1) \(\displaystyle{ m \cdot \ddot x+kx=0}\) /:m,
\(\displaystyle{ \ddot x+ \frac{kx}{m} =0}\),
2.Oznaczamy stosunek;
(2) \(\displaystyle{ \frac{k}{m}=\omega ^{2}, \omega= \sqrt{ \frac{k}{m} }}\)
Teraz otrzymujemy;
(3) \(\displaystyle{ \ddot x= -\omega ^{2}x}\)
.....................................................
3.Równanie (3) jest równaniem różniczkowym rzędu drugiego(równanie liniowe jednorodne- skrót RJ)./
Tw. dotyczące RJ.
Jeśli\(\displaystyle{ y _{1}(x), y_{2}(x)}\) \(\displaystyle{ }\) tworzą układ całek RJ, to każdą całkę y(x) tego równania można wyrazić jako kombinację liniową tych dwóch całek;
(4) \(\displaystyle{ y(x)=C _{1} y _{1}(x)+C _{2} y _{2}(x)}\)
C1 i C2- stałe dowolne,
Wyrażenie (4) jest całką ogólną równania jednorodnego-CORJ.
.......................................................................................
4.Całka ogólna równania(CORJ)
Równanie(3) ma całki \(\displaystyle{ y_{1}(x)= sinx,}\)\(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ y_{2}(x)=cosx}\), ogólnym zaś rozwiązaniem jest na mocy (4);
(5) \(\displaystyle{ x=C _{1} \cdot cos\omega t +C _{2} \cdot sin\omega t}\)
5.Wyznaczenie stałych z warunków początkowych ruchu.
4.1.Podstawiamy do (5) i wyznaczamy C1;
t=0 i \(\displaystyle{ x=x_{0}}\) \(\displaystyle{ }\) i wyznaczamy stałą C1;
(6)\(\displaystyle{ C_{1}= x_{o}}\)
4.2. Stała C2. Różniczkujemy (5) względem czasu;
(7.) \(\displaystyle{ \dot x=-\omega \cdot C_{1} \cdot sin\omega t+\omega \cdot C_{2} \cdot cos\omega t}\)
Wykorzystamy dane poczatkowe:
\(\displaystyle{ \dot x=v _{o}}\) \(\displaystyle{ }\) i t=0
Znajdujemy;
(8) \(\displaystyle{ C_{2}= \frac{v _{o} }{\omega}}\)
5. Wstawiamy stałe do (5) i otrzymujemy rozwiązanie CORJ;
(8)\(\displaystyle{ x=x_{o} \cdot cos\omega t + \frac{v _{o} }{\omega} \cdot sin\omega t.}\)
......................................................
Pokażemy, że równanie(8) obrazuje ruch harmoniczny wprowadzając stałe do tego równania;
(9) \(\displaystyle{ x _{o}=A \cdot sin\phi}\)
(10)\(\displaystyle{ \frac{v _{o} }{\omega}=A \cdot cos\phi}\)

(11\(\displaystyle{ )x=A( sin\phi\cdot cos\omega t + cos\phi \cdot sin\omega t)}\)
Po wykorzystaniu wzoru redukcyjnego\(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ sin( \alpha + \beta )= sin \alpha \cdot cos \beta +sin \beta \cdot cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ \omega t= \alpha}\) ,\(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ \phi = \beta}\)

(12)\(\displaystyle{ x=A \cdot sin(\omega t+\phi)}\)
Lub:
(13) \(\displaystyle{ x=A \cdot sin( \frac{2 \pi }{T} t+\phi)=A \cdot sin(2 \pi \cdot \nu \cdot t+\phi)}\)
...............................................................
Z równań (9) i (10) wyznaczymy stałe;
(13)\(\displaystyle{ A= \sqrt{(x _{o}) ^{2}+ \frac{v _{o} ^{2} }{\omega ^{2} } }}\),
(14) \(\displaystyle{ tg\phi= \frac{\omega \cdot x _{o} }{v _{o} }}\)
.............................................
Drgania masy m zachodzące pod działaniem siły proporcjonalnej do wychylenia od położenia równowagi nazywamy drganiami swobodnymi.
..........................................
x- odchylenie od pewnego położenia,
t- czas,
A- amplituda ruchu/ Gdy rośnie czas, to rośnie argument \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ \omega t}\) i sinus tego wyrażenia przybiera okresowo wartości: -A, do +A. Masa m porusza się tam i z powrotem wzdłuż osi x.
\(\displaystyle{ \omega}\), - częstość ruchu,
\(\displaystyle{ \omega= \frac{2 \pi }{T}}\)
\(\displaystyle{ T= \frac{2 \pi }{ \omega }=2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }}\) -okres drgań - czas po upływie, którego masa m wraca do pierwotnego (pierwszego) swego położenia-. Ruch się powtarza.
\(\displaystyle{ \nu=1/T}\)- częstotliwość-ilość okresów odbytych w jednostce czasu,
\(\displaystyle{ \phi}\) faza początkowa ruchu(kąt),
.....................
Symbolika I i II pochodnej
\(\displaystyle{ \dot x,}\) \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ \ddot x}\)

Nie żebym chciał Pana urazić, ale wikipedię potrafię jeszcze przeglądać. Zapytałem tylko o prostą rzecz nie trzeba mi było całego wyprowadzenia z równań różniczkowych

[siwymech]

Nie ma żadnej urazy, chcę tylko Pana zapewnić, że to moje oryginalne "opracowanie",.
Z poważaniem A.S.
........................
378088,25.htm