moment stopu, łańcuch Markowa, funkcja tworząca, SPWL

[blackbird936]

Bardzo proszę o wskazówki do rozwiązania poniższych zadań.

1) Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1,...,X_{50}}\) są niezależne i wszystkie mają gęstość \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{2 \sqrt{ \pi } } e^{- \frac{x^2}{4}}}\). Oblicz prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P\left( \sum_{k=1}^{50}X_k <0\right)}\)

2)Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1, X_2,X_3,...}\) są niezależne, \(\displaystyle{ X_n}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda _n >0}\) \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) przy czym \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \lambda _n = \lambda >0}\). Wykazać, że dla \(\displaystyle{ X_1, X_2, X_3}\) zachodzi SPWL.

3)Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1, X_2,X_3}\) są niezależne, \(\displaystyle{ X_i}\) ma rozkład dwumianowy z parametrami \(\displaystyle{ n_i}\), \(\displaystyle{ p}\), \(\displaystyle{ i=1,2,3}\), tzn \(\displaystyle{ X_i \sim B(n_i,p)}\), \(\displaystyle{ i=1,2,3}\). Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X_1+ X_2+X_3}\). Funkcja tworząca momenty dla \(\displaystyle{ B(n,p)}\) to \(\displaystyle{ (pe^t+1-p)^n}\)

4) Niech \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) będzie \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą w \(\displaystyle{ \Omega}\) i niech \(\displaystyle{ \mathcal{F}_t \subset \mathcal{F}_{t \in T}}\) będzie filtracją. Pokazać, że jeżeli \(\displaystyle{ \tau _1}\), \(\displaystyle{ \tau _2}\) są momentami stopu względem \(\displaystyle{ \left( \mathcal{F}_t\right)_{t \in T}}\) oraz \(\displaystyle{ \tau _1 \le \tau _2}\) to \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{\tau _1} \subset \mathcal{F}_{\tau _2}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{\tau _1}= \left\{ A \in \mathcal{F} : \forall _{t \in T} A \cap \left\{ \tau \le t\right\} \in \mathcal{F}_t \right\}}\) \(\displaystyle{ , i=1,2}\) to \(\displaystyle{ \sigma}\) -algebry wyznaczone przez \(\displaystyle{ \tau _1}\), \(\displaystyle{ \tau _2}\)

5) Wiadomo, że łańcuch Markowa o macierzy przejścia \(\displaystyle{ P}\) ma jedyny rozkład stacjonarny \(\displaystyle{ \pi}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \pi}\), jeżeli \(\displaystyle{ P=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{5} & \frac{4}{5} \\\frac{4}{5}& \frac{1}{5}\end{array}\right]}\)

[Adifek]

Jeśli nie umiesz pierwszego, to śmiało mogę powiedzieć, że wskazówki dla pozostałych Ci nic nie powiedzą...

[blackbird936]

Ciekawe czy na żywo też byłbyś taki mądry :p