Równanie różniczkowe z liczbą e - metoda przewidywań

[FantaZy]

\(\displaystyle{ y'+y=1- e^{-t}}\)

W jaki sposób rozwiązać to metodą przewidywań?
Próbowałem podstawień:
\(\displaystyle{ (At+B)e ^{-t}}\)
\(\displaystyle{ (At+B)-(Ct+D)e^{-t}}\)
\(\displaystyle{ (At^{2}+Bt+C)e^{-t}}\)
Niestety żadne nie doprowadziło mnie do poprawnego wyniku. Czy ktoś mógłby coś podpowiedzieć? Może tą metodą w ogóle nie da się rozwiązywać tego typu przykładów? Jeśli tak to dlaczego?

[kerajs]

Po lewej stronie masz wielomian i wyrażenie wykładnicze. Przewidywałbyś całkę szczególną: \(\displaystyle{ y _{s} =A+Be ^{-t}}\)
Ale na wynik przewidywania ma wpływ całka ogólna równania uproszczonego
\(\displaystyle{ y _{o}=C _{1} +C _{2}e ^{-t}}\)
która jeśli zawiera fragment przewidywanej całki szczególnej (a tu tak jest) to w przewidywaniu należy to uwzględnić.

Przewidujesz: \(\displaystyle{ y _{s} =At+Bte ^{-t}}\)



Możesz o tym poczytać np. tu:
361891.htm
366032.htm
379900.htm

[FantaZy]

Nie wiem dlaczego ale przewidywanie, które dało mi poprawny wynik jest:

\(\displaystyle{ At+B-(Ct+D)e ^{-t}}\)

[Mariusz M]

kerajs, tak tyle że to jest równanie pierwszego rzędu
FantaZy, \(\displaystyle{ A=0}\) ?

[kerajs]

@ mariuszm,
Nie ma przeszkód aby to równanie liniowe rozwiązywać metodą przewidywania . Była ona zresztą z góry narzucona przez autora tematu.
@ FantaZy,
Twoje i moje przewidywanie daje dokładnie ten sam wynik.
Twoje rozwiazanie
\(\displaystyle{ C _{1} +C _{2}e ^{-t}= At+B-(Ct+D)e ^{-t}\\C _{1} -B +C _{2}e ^{-t}-De ^{-t}= At-Cte ^{-t}\\
K _{1} +K _{2}e ^{-t}= At+Ete ^{-t}}\)

[Mariusz M]

kerajs, nie chodziło mi o to że nie można rozwiązywać tego równania ten sposób
tylko że twoje rozwiązanie równania jednorodnego jest błędne, właśnie dlatego że to jest równanie pierwszego rzędu

Twoje rozwiązanie pasuje do równania \(\displaystyle{ y^{\prime\prime}+y^{\prime}=1-e^{-t}}\)

Co do całki szczególnej to wystarczy przewidywanie \(\displaystyle{ y_{s}=A+Bte^{-t}}\)

[kerajs]

Oczywiście masz rację, mariuszm.
Mam nadzieję, iż tak kardynalne błędy nie będę popełniał zbyt często.
Wielkie SORRY FantaZy.