2 równania różniczkowe

[Axe]

Mam oto takie równania różniczkowe:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\tg \frac{x}{2}+ \frac{y}{\sin x}}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{x}{y}-2y \right) \frac{dy}{dx}=2x-\ln y}\)

1 rozwiązuje w sposób liniowy:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\tg \frac{x}{2}+ \frac{y}{\sin x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}-y \frac{1}{\sin x}=\tg \frac{x}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}-y \frac{1}{\sin x}=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=y \frac{1}{\sin x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}= \frac{dx}{\sin x}}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{\sin x}}\)

i tu zaczyna się mój problem, ponieważ nie wiem jak rozwiązać całkę z prawej strony Mógłby ktoś krok po kroku wyjaśnić mi jak rozwiązać tego typu całkę?

A co do drugiego równania to kompletnie nie mam konceptu jak się do tego zabrać.

[yorgin]

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin x}=\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}=\frac{1}{2\tan \frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}}}\)

Widać teraz podstawienie do zastosowania.

Drugie równanie jest równaniem zupełnym.

[Axe]

A jak doszło do przekształcenia po 2 znaku równości?

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ \sin u\cos u=\sin u \frac{\cos^2 u}{\cos u}= \frac{\sin u}{\cos u}\cos^2 u}\)

[Axe]

Aha, no tak Myślę, że już z tym 1 jakoś sobie poradzę. Teraz drugie:

\(\displaystyle{ \left( \frac{x}{y}-2y \right) \frac{dy}{dx}=2x-\ln y}\)

\(\displaystyle{ (2x-\ln y)+\left(- \frac{x}{y}+2y \right) \frac{dy}{dx}=0}\)

\(\displaystyle{ P(x,y)=(2x-\ln y)\ \ \ \ \ \ \ Q(x,y)=\left(- \frac{x}{y}+2y \right)}\)

Sprawdzam zupełność:

\(\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}(2x-\ln y)=- \frac{1}{y}\ \ \ \ \ \ \frac{\partial Q}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\left(- \frac{x}{y}+2y\right)=- \frac{1}{y}}\)



\(\displaystyle{ \frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=2x-\ln y}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=\left(- \frac{x}{y}+2y \right)}\)

Wyznaczam z pierwszego równania \(\displaystyle{ F(x,y)}\):

\(\displaystyle{ F(x,y)= \int (2x-\ln y)dx=x^2-x\ln y+C(y)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^2-x\ln y+C(y)=0-x \frac{1}{y}+C'(y)}\)


Podstawiam do równania:

\(\displaystyle{ -\frac{x}{y}+C'(y)=- \frac{x}{y}+2y}\)

\(\displaystyle{ \frac{dC }{dy}=2y}\)

\(\displaystyle{ dC(y)=2ydy}\)

\(\displaystyle{ \int dC=\int 2ydy}\)

\(\displaystyle{ C(y)=y^2+D}\)

\(\displaystyle{ F(x,y)=x^2-x\ln y+y^2+D}\)

\(\displaystyle{ x^2-x\ln y+y^2+D=0}\)


Wydaje mi się, że dobrze to rozwiązałem, ale możecie spojrzeć

[Lbubsazob]

Nie widzę żadnego błędu.

[yorgin]

Również nie widzę, co więcej, rozwiązanie jest przedstawione znacznie lepiej, niż większość studentów robi to na tablicy/sprawdzianie. Brawo za cierpliwość i dokładność