Całka z pierwiastkiem w mianowniku

[patryk6]

Mam problem z tą całką :/ nic nie wychodzi
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x \sqrt{1 - x ^{2} } }}\)

[Jelon]

którymś z podsatwień eulera spróbuj. Np 2

[patryk6]

Z tym, że ze wzorów Eulera nie możemy korzystać :/

[Jelon]

szczerze się przyznam, że odpadam w takim razie. Może ktoś znajdzie jakieś sprytne podsatwienie z funkcjami hiperbolicznymi/trygonometrycznymi(?). Może całkowanie różniczki dwumiennej? Chociaż za tą metodą specjalnie nie przepadam :p

[yorgin]

patryk6, dlaczego nie można skorzystać?

Jelon, można trygonometryczne - \(\displaystyle{ x=\sin u}\). Potem klasyka.

[Mariusz M]

Podstawienie Eulera powinno dać od razu logarytm
Jak nie możesz go użyć to podstawienie za pierwiastek powinno tutaj zadziałać

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x \sqrt{1 - x ^{2} } }\\
=\int{\frac{1}{1-\left( 1-x^2\right) } \cdot \frac{\left( -x\right) }{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }}\)

Jak znasz hiperboliczne i do nich odwrotne to wynik masz od razu jak nie to musisz jeszcze rozkładać
na sumę ułamków prostych a z podstawienia Eulera wszystko by się ładnie poskracało

Podstawienie \(\displaystyle{ x=\sin{u}}\) niewiele da
bo gdy później podstawi za tangensa połówkowego to otrzyma podstawienie Eulera
którego nie chce użyć a podstawienie za cosinus sprowadza się do podstawienia za pierwiastek

[yorgin]

\(\displaystyle{ \int\frac{\dd x}{x\sqrt{1-x^2}}=\int\frac{\dd (\sin u)}{\sin u\cos u}=\int\frac{\cos u\dd u}{\sin u \cos u}=\int\frac{\dd u}{\sin u}}\)

czy może nie dostrzegam czegoś po drodze? Ostatnia całka to klasyk, który nie wymaga żadnego trudnego podstawienia, a już na pewno nie wprowadza w podstawienie Eulera.

[mortan517]

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x \sqrt{1 - x ^{2} } }=\int \frac{xdx}{x^2 \sqrt{1 - x ^{2} } }}\)

I podstawienie \(\displaystyle{ t=\sqrt{1-x^2}}\)

[Mariusz M]

Tak to złóż podstawienie które proponujesz z podstawieniem tangensa połówkowego
Co otrzymasz ?
Łatwo zauważyć że podstawienie za pierwiastek wystarczy

[yorgin]

Tak to złóż podstawienie które proponujesz z podstawieniem tangensa połówkowego
Co otrzymasz ?

Nie ważne, co otrzymam, ważne, że nigdzie jawnie nie ma zabronionego podstawienia Eulera.

Łatwo zauważyć że podstawienie za pierwiastek wystarczy

Łatwo zauważyć, że moje podstawienia również. A te nie wymagają szczególnego zgadywania.