Mamy podane równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}y''+y'+1=0}\), mam rozwiązać to równanie ogólnie, określić czy to są drgania tłumione a jeśli tak to dla \(\displaystyle{ y(0)=-1}\) i \(\displaystyle{ y'(0)=0}\) obliczyć amplitudę i okres drgań
Równanie drgań harmonicznych
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8708
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 335 razy
- Pomógł: 3431 razy
Równanie drgań harmonicznych
\(\displaystyle{ RCh : \ \ \frac{1}{2}r^2+r+1=0 \\ \Delta =-1 \\ r _{1,2}=-1 \pm i \\ CORJ: \ \ y=e ^{-t}(C _{1}\sin t +C _{2}\cos t )}\)
Po wstawieniu warunków początkowych i wyliczeniu stałych C1,C2 dostałem amplitudę drgania tłumionego y(t):
\(\displaystyle{ y=e ^{-t}(-\sin t - \cos t)}\)
którą można uprościć do wzoru:
\(\displaystyle{ y= -\sqrt{2} e ^{-t}\sin( t + \frac{ \pi }{4})}\)
Okres tego drgania to okres sinusa czyli \(\displaystyle{ 2 \pi}\)
Ps. Sprawdź poprawność moich obliczeń.
Po wstawieniu warunków początkowych i wyliczeniu stałych C1,C2 dostałem amplitudę drgania tłumionego y(t):
\(\displaystyle{ y=e ^{-t}(-\sin t - \cos t)}\)
którą można uprościć do wzoru:
\(\displaystyle{ y= -\sqrt{2} e ^{-t}\sin( t + \frac{ \pi }{4})}\)
Okres tego drgania to okres sinusa czyli \(\displaystyle{ 2 \pi}\)
Ps. Sprawdź poprawność moich obliczeń.