Zbiór wartości funkcji wymiernej

[merykin]

Witam. Mam problem z wspomnianym wyżej zadaniem - zagadnienie jest związane z pojęciem równości funkcji wymiernych i należy je rozwiązać bez liczenia granic, pochodnych ani wykonywania badania przebiegu zmienności - głównie dlatego, że w drugiej klasie liceum jeszcze tego nie ma. Chodzi o określenie zbioru wartości funkcji \(\displaystyle{ \frac{2x}{ x^{2}+1}}\) - wiem jak to zrobić badaniem przebiegu zmienności funkcji, więc proszę nie pisać - użyj granic i pochodnych. Myślę, że chodzi tu o zauważenie czegoś co by pozwoliło pozbyć się \(\displaystyle{ x}\) z licznika.

[Medea 2]

Możesz zgadnąć rozwiązanie: \(\displaystyle{ f(1) = 1}\) oraz:

\(\displaystyle{ \frac{2x}{x^2+1} \le 1 \iff (x^2-2x + 1) \ge 0 \iff (x- 1)^2 \ge 0}\)

[Hendra]

Troszkę nad tym pomyślałem i udało mi się ten przykład zrobić bez wykorzystywania pochodnych i granic.
\(\displaystyle{ W \left( x \right) = \frac{2x}{x^{2}+1}= \frac{2}{x+ \frac{1}{x} }}\) dla \(\displaystyle{ x \neq 0 \wedge 0}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\)
dla \(\displaystyle{ x>0}\)
\(\displaystyle{ x+\frac{1}{x} \ge 2}\) nierówność oczywista (wyprowadzamy z wzorów skróconego mnożenia)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x+ \frac{1}{x} } \le \frac{1}{2} / \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ 0< \frac{2}{x+ \frac{1}{x} } \le 1}\)
dla \(\displaystyle{ x<0}\)
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} \le -2}\) znów nierówność oczywista
\(\displaystyle{ \frac{1}{x+ \frac{1}{x} } \ge \frac{-1}{2}/ \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ 0> \frac{2}{x+ \frac{1}{x} } \ge -1}\)
\(\displaystyle{ Zw=\left\langle -1,1 \right\rangle}\) oczywiście suma z \(\displaystyle{ x=0}\)
Myślę, że jest to całkiem przejrzysty sposób rozwiązania zadania bez użycia bardziej zaawansowanych narzędzi.

[mortan517]

Najłatwiej przekształcając \(\displaystyle{ (\left| x\right| - 1)^2 \ge 0}\)

[Seth Briars]

Troszkę nad tym pomyślałem i udało mi się ten przykład zrobić bez wykorzystywania pochodnych i granic.
\(\displaystyle{ W \left( x \right) = \frac{2x}{x^{2}+1}= \frac{2}{x+ \frac{1}{x} }}\) dla \(\displaystyle{ x \neq 0 \wedge 0}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\)
dla \(\displaystyle{ x>0}\)
\(\displaystyle{ x+\frac{1}{x} \ge 2}\) nierówność oczywista (wyprowadzamy z wzorów skróconego mnożenia)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x+ \frac{1}{x} } \le \frac{1}{2} / \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ 0< \frac{2}{x+ \frac{1}{x} } \le 1}\)
dla \(\displaystyle{ x<0}\)
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} \le -2}\) znów nierówność oczywista
\(\displaystyle{ \frac{1}{x+ \frac{1}{x} } \ge \frac{-1}{2}/ \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ 0> \frac{2}{x+ \frac{1}{x} } \ge -1}\)
\(\displaystyle{ Zw=\left\langle -1,1 \right\rangle}\) oczywiście suma z \(\displaystyle{ x=0}\)
Myślę, że jest to całkiem przejrzysty sposób rozwiązania zadania bez użycia bardziej zaawansowanych narzędzi.

Z Twojego rozumowania nie wynika, że \(\displaystyle{ Zw=\left\langle -1,1 \right\rangle}\), lecz \(\displaystyle{ Zw \subset \left\langle -1,1 \right\rangle}\), a to za mało.

[Dilectus]

Zwróć uwagę na to, że funkcja jest nieparzysta, a więc wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Wystarczy więc, że zbadasz funkcję w połowie dziedziny, tj. dla iksów nieujemnych.
Odpowiedz teraz na pytanie, kiedy licznik jest większy od mianownika, albo odwrotnie. A to jest proste, bo wystarczy narysować na jednym wykresie funkcję \(\displaystyle{ y=2x}\) i funkcję \(\displaystyle{ y=x^2+1}\).
Zobaczysz wtedy, że licznik jest zawsze \(\displaystyle{ \le}\) od mianownika. A równość zachodzi wtedy, gdy

\(\displaystyle{ 2x=x^2+1 \Leftrightarrow \left( x-1\right)^2=0 \Rightarrow x=1}\)

Stąd wniosek, że funkcja osiąga największą wartość w \(\displaystyle{ x=1}\)

\(\displaystyle{ f\left( 1\right) = \frac{2}{2}=1}\)

Zobacz też, że dla \(\displaystyle{ x \ge 0 \quad \text{mamy} \quad 0\le f\left( x\right) \le 1}\)

w takim razie, ponieważ funkcja jest nieparzysta, dla iksów niedodatnich będziemy mieć \(\displaystyle{ -1 \le f\left( x\right) \le 0}\)

Ostatecznie więc zbiór wartości tej funkcji to przedział \(\displaystyle{ \left\langle -1, \ 1\right\rangle}\)

[Hendra]

Z Twojego rozumowania nie wynika, że \(\displaystyle{ Zw=\left\langle -1,1 \right\rangle}\), lecz \(\displaystyle{ Zw \subset \left\langle -1,1 \right\rangle}\), a to za mało.

Nie do końca rozumiem dlaczego
Mógłbyś wyjaśnić?

[Seth Briars]

Mógłbyś wyjaśnić?

Pokazałeś, że wszystkie wartości \(\displaystyle{ W(x)}\) spełniają nierówność \(\displaystyle{ -1 \le W(x) \le 1}\) (a więc, że \(\displaystyle{ Zw \subset \left\langle -1,1\right\rangle}\)) skąd nie wynika, że wszystkie wartości z tego przedziału są przyjmowane przez funkcję. Jeszcze należałoby dowieść, że \(\displaystyle{ \left\langle -1,1\right\rangle \subset Zw}\) tj. że dowolna liczba ze zbioru \(\displaystyle{ \left\langle -1,1\right\rangle}\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ W}\) w celu pokazania równości \(\displaystyle{ Zw=\left\langle -1,1\right\rangle}\). Wynika to stąd, że \(\displaystyle{ (A \subset B \wedge B \subset A) \Leftrightarrow A=B}\) jak i z określenia zbioru wartości funkcji.

[Medea 2]

Wypadałoby więc skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ f(\pm 1) = \pm 1}\) i powołać się na własność Darboux. Ale tego nie ma w liceum raczej. Raczej

[Seth Briars]

Wystarczy dla \(\displaystyle{ y \in \left\langle -1,1\right\rangle \setminus \left\{ 0\right\}}\) przyjąć \(\displaystyle{ x=\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{y}}\), a dla \(\displaystyle{ y=0}\) przyjąć \(\displaystyle{ x=0}\), w każdym razie \(\displaystyle{ W(x)=y}\).

[AndrzejK]

Wypadałoby więc skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ f(\pm 1) = \pm 1}\) i powołać się na własność Darboux. Ale tego nie ma w liceum raczej. Raczej

A to cię zaskoczę, bo własność Darboux jest w liceum ^^.

[Jan Kraszewski]

To chyba zależy w jakim liceum...

JK

[merykin]

Hmm twierdzenie Darboux jest dopiero w 3 klasie - a zadanie znajduje się w zbiorze w dziale związanym z równością funkcji wymiernych - więc chyba o inny sposób chodzi. Myślę, że należy rozbić funkcję na dwa ułamki, ale nie mam pomysłu na jakie. Próbowałem zapisać to jako \(\displaystyle{ \frac{2x}{ x^{2}+1}= \frac{ (x^{2}+2x+1)-( x^{2}+1)}{ x^{2}+1 }= \frac{ (x+1)^{2} }{ x^{2}+1 }- \frac{ x^{2}+1 }{ x^{2}+1 }= \frac{ (x+1)^{2} }{ x^{2}+1 }-1}\) - do takiego zapisu doszedłem i nie mam pomysłu co dalej, ale czuję że to jest to o co chodziło autorowi zadania.

[Seth Briars]

Przecież to zadanie zostało już rozwiązane (a przynajmniej został podany mocno zarysowany szkic rozwiązania) bez powoływania się na własność Darboux - Hendra uzasadnił Ci, że każda wartość postaci \(\displaystyle{ \frac{2x}{x^2+1}}\) spełnia podwójną nierówność \(\displaystyle{ -1 \le \frac{2x}{x^2+1} \le 1}\), a ja uzasadniłem, że każda liczba z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -1,1\right\rangle}\) jest przyjmowana przez funkcję. Stąd wynika, że zbiorem wartości jest \(\displaystyle{ \left\langle -1,1\right\rangle}\).

[Dilectus]

Przecież to zadanie zostało już rozwiązane (a przynajmniej został podany mocno zarysowany szkic rozwiązania) bez powoływania się na własność Darboux

Moje rozwiązanie również nie powołuje się na własność Darboux, ale chyba nikt go do tej pory nie przeczytał.