Kolejność przekształceń wykresu funkcji

[Michcio14]

Zawsze bazową funkcją jest \(\displaystyle{ f(x)}\) i chcemy zrobić funkcję g(x). Bardzo proszę o dokładne sprawdzenie kolejności i przekształceń funkcji. Jakby był jakiś błąd (coś czuje że tak będzie) to fajnie jakbyście napisali. Przykłady ja wymyślałem, ale po to żeby umieć zrobić jak kiedyś coś takiego się trafi.

\(\displaystyle{ g(x)=-f(x+3)-2}\)
Najpierw symetria względem osi X, potem przesunięcie o \(\displaystyle{ 3}\) w lewo i \(\displaystyle{ 2}\) do dołu tak?

\(\displaystyle{ g(x)=f(-x+3)+1}\)
Jakbym to zrobił? Przesunął o 3 jednostki w lewo, odbił symetrycznie względem osi Y, i na końcu przesunął o jedną jednostkę do góry. Dobrze?

\(\displaystyle{ g(x)=\left| -f(-x-4)\right|}\)
Symetria względem osi X, przesunięcie o 4 jednostrki w prawo, odbicie symetryczne względem osi Y, a na końcu przekształcenie, które powoduje odbicie symetryczne względem osi X tego co jest pod osią X oraz "zostawienie w spokoju" tego co jest nad osią X, czyli przekształcenie \(\displaystyle{ h(x)=\left| g(x)\right|}\)

\(\displaystyle{ g(x)=-f\left( \left| 2x\right|-5 \right)}\)
Hmm... tu bym zaczął od "ściśnięcia dwukrotnego" w poziomie, potem przekształcenie moduł na argument (czyli to co po prawej stronie osi Y na wykresie zostawiamy, i dodatkowo odbijamy na lewą stronę Y, przesunięcie o 5 w prawo i na końcu symetria względem osi X.

Bardzo proszę sprawdzić te 4 przykłady. Być może w tym wątku, jak słabo mi będzie szło, będę umieszczał ich więcej. Daję pkt pomógł za fachową poradę i opinię. Pozdrawiam!

[musialmi]

Pierwsze i ostatnie są dobrze. Robisz taki błąd, że jak robisz operację "\(\displaystyle{ f(-<argument>)}\)", to nie bierzesz całego argumentu, tylko samą literkę \(\displaystyle{ x}\). A to daje lipę.

[Michcio14]

To jak mam to zrobić?
Jaka jest ogólnie procedura tworzenia przekształceń dla takiej funkcji \(\displaystyle{ f(-x+3)-4}\)
I jakbym np. chciał jeszcze dać przed wszystkim minus, to w którym miejscu by była symetria względem osi X ?

[musialmi]

Ukryta treść:    

Jeśli "przed wszystkim", to na końcu.

\(\displaystyle{ f(x) \to f(-x) \to \ldots}\)

[szachimat]

A ja uważam, że trzy pierwsze są dobrze i nie ma tutaj lipy, tylko dojście inną drogą, natomiast czwarty źle, chociażby z faktu, że wyjdzie f. parzysta (dla x i -x taka sama wartość).

[musialmi]

Masz rację, źle powiedziałem.

[Michcio14]

Czyli przykłady a,b i c dobrze, tak?
Gdzie jest błąd w d)?

Jeszcze sprawdźcie na tym przykładzie
\(\displaystyle{ g(x)=\left| -f(-x-5)-2\right|}\)

Najpierw, no właśnie co najpierw? Symetria względem osi X?
Później bym dał przesunięcie o 5 jednostek w prawo i symetria względem osi Y.
Dalej przesunięcie o 2 do dołu
I na końcu przekształcenie "moduł na funkcję" czyli to co nad osią X, zostaje, to co pod osią X, odbijam.

[szachimat]

Najfajniejsze jest to, że obaj rozumujecie poprawnie, tylko podobnie, jak to często bywa w kombinatoryce, można dojść do tego samego na różne sposoby (musialmi może już to potwierdzić).

Na przykładzie tej ostatniej funkcji, tylko bez modułu, bo nie w nim jest problem: \(\displaystyle{ g(x)=-f(-x-5)-2}\)

Sposób, który podaje musialmi:
a) mamy funkcję \(\displaystyle{ y=f(x)}\)
b) rysujemy funkcję \(\displaystyle{ y=-f(x)}\) - symetria względem osi OX
c) rysujemy funkcję \(\displaystyle{ y=-f(-x)}\) - symetria względem osi OY
d) rysujemy funkcję \(\displaystyle{ y=-f(-(x+5))}\) - przesunięcie w lewo o 5, czyli mamy \(\displaystyle{ y=-f(-x-5)}\)
e) przesunięcie w dół o 2

Sposób, który podaje Michcio14:
a) i b) - jak wyżej
c) rysujemy funkcję \(\displaystyle{ y=-f(x-5)}\) - przesunięcie w prawo o 5
d) rysujemy funkcję \(\displaystyle{ y=-f(-x-5)}\) - symetria względem osi OY
e) j.w.

Czy jednym, czy drugim sposobem z funkcji np. \(\displaystyle{ y=2x-1}\) dojdziemy do funkcji \(\displaystyle{ y=2x+9}\)

Natomiast kolejne kroki, jakie należy wykonać przy d)
\(\displaystyle{ y=-f(x)}\) - wiadomo
\(\displaystyle{ y=-f(2x)}\) - "ściśnięcie"
\(\displaystyle{ y=-f(2(x- \frac{5}{2}) )}\) - przes. w prawo o 2,5 (wyjdzie \(\displaystyle{ y=-f(2x-5)}\))
\(\displaystyle{ y=-f(2\left| x\right|-5)=-f(\left|2 x\right|-5)}\) - chyba też wiadomo, gdy na x "nakładamy" moduł

Szach i Mat

[Michcio14]

Ładnie to rozpisałeś.
Ale na konkurencyjnym forum według takiego jednego gościa jedyny poprawny sposób na rozwiązanie czegoś takiego \(\displaystyle{ -f(-x+5)+2}\) to:

- przesunięcie o 5 w lewo
- symetria względem osi Y
- przesunięcie o 2 do dołu
- symetria względem osi X na końcu

Muszę też samemu posprawdzać jak wyjdą funkcje, bo to świetny sposób. Dzięki za pomoc panowie.

[musialmi]

Na konkurencyjnym forum gościu pomyślał trochę za wąsko. szachimat dobrze napisał. Ja natomiast miałem na myśli co innego niż to, co napisał szachimat; ten "mój" sposób (który opisał szachimat) jest niepotrzebną komplikacją i lepiej robić twoim. A ten mój, który miałem w głowie, nie działa w ogóle.
Możesz sobie sprawdzić na kartce A potem narysować tu . Jeśli nie przekonała cię argumentacja szachimata.

[szachimat]

Dzisiaj napisałem pewne zdanie na stronie: 139012,1575.htm
I to się potwierdza tutaj. Ale nie jest to jedyny poprawny sposób. Mógłbym podać inne, ale teraz i sam to byś uczynił. (a tak swoją drogą, to podaj mi link do tej strony na PW, to sobie poczytam).
musialmi - dlaczego napisałeś, że Twój sposób nie działa - teraz to ja nie rozumiem - przecież pokazałem, że działa.

[Michcio14]

Dzięki. Pkt pomógł rozdane no i nareszcie to zrozumiałem.
Echh, coś mało ruchu jest tu na stronie, jeszcze 2-3 lata temu było sporo więcej tematów i użytkowników. (Żeby nie było, miałem tu konto wtedy, ale zapomniałem nicku).

[AndrzejK]

Jakbyś jeszcze miał jakieś wątpliwości to tutaj trochę rozwinąłem temat: 383458.htm#p5323641