Iloczyn odwracalny w pierścieniu z jedynką

[Wojteg]

Witam,

mam problem z takim zadaniem:

Niech \(\displaystyle{ A}\) pierścień z jedynką i \(\displaystyle{ a,b \in A}\). Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ ab}\) odwracalny, to \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) też są odwracalne.

Umiem pokazać, że \(\displaystyle{ a}\) ma prawostronną odwrotność: \(\displaystyle{ a\left( b\left( ab\right)^{-1} \right) = 1}\), podobnie \(\displaystyle{ b}\) ma lewostronną. Ale nie potrafię pokazać istnienia odwrotności z lewej strony dla \(\displaystyle{ a}\) i odpowiednio prawej dla \(\displaystyle{ b}\). Proszę o pomoc

[Poszukujaca]

Trochę ten zapis niekompletny.. Jak są zdefiniowane działa w pierścieniu \(\displaystyle{ A}\) i czy \(\displaystyle{ a, b \in A}\)?

[Wojteg]

Zjadło mi się \(\displaystyle{ a,b \in A}\), już poprawiam Dowód powinien być dla dowolnego pierścienia z jedynką, więc działania nie są znane. O ile dobrze rozumiem zadanie

[Dasio11]

To chyba nieprawda.

Zbiór \(\displaystyle{ \RR^{\NN}}\) ciągów liczb rzeczywistych jest przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \RR.}\) Zbiór funkcji liniowych \(\displaystyle{ \varphi : \RR^{\NN} \to \RR^{\NN}}\) z działaniami:

\(\displaystyle{ (\varphi + \psi)(x) = \varphi(x) + \psi(x) \\
(\varphi \circ \psi)(x) = \varphi( \psi(x) )}\)

jest pierścieniem z jedynką. Ale teraz:

\(\displaystyle{ \varphi( x_1, x_2, x_3, \ldots ) = ( x_2, x_3, x_4, \ldots ) \quad \text{(przesunięcie w lewo)} \\[1ex]
\psi( x_1, x_2, x_3, \ldots ) = ( 0, x_1, x_2, \ldots ) \quad \text{(przesunięcie w prawo)}}\)

są elementami tego pierścienia i \(\displaystyle{ \varphi \circ \psi = \mathrm{id}.}\) Ale ani \(\displaystyle{ \varphi,}\) ani \(\displaystyle{ \psi}\) nie są odwracalne.

[Zordon]

Może pierścień ma być przemienny? Albo skończony.