Nierówność z indeksem podgrupy

[Wojteg]

Witam,

Nie potrafię udowodnić poniższej nierówności:

Niech \(\displaystyle{ H,F}\) podgrupy \(\displaystyle{ G}\) oraz \(\displaystyle{ [G:F] < \infty}\) . Wykaż, że \(\displaystyle{ [ H : H \cap F ] \leq [ G : F ]}\).

Próbowałem coś wykombinować z twierdzenia Lagrange'a, ale do niczego ciekawe nie doszedłem Dziękuję za każdą pomoc

[kicaj]

Rozważmy, odwzorowanie \(\displaystyle{ \varphi : (H: H\cap F )\to (G:F),}\) \(\displaystyle{ \varphi (h \cdot (H\cap F))=h\cdot F .}\) Odwzorowanie to jest różnowartościowe, gdyż równość

\(\displaystyle{ \varphi (h_1 \cdot (H\cap F))=\varphi (h_2 \cdot (H\cap F))}\)

pociąga za sobą

\(\displaystyle{ h_1 \cdot F =h_2 \cdot F}\)

skąd \(\displaystyle{ h_2^{-1} \cdot h_1 \in F}\)

a więc

\(\displaystyle{ h_2^{-1} \cdot h_1 \in (H\cap F )}\)

czyli

\(\displaystyle{ h_1 \cdot (H\cap F)=h_2 \cdot (H\cap F).}\)

Ponieważ, \(\displaystyle{ \varphi}\) jest różnowartościowe więc liczba elementów dziedziny nie przewyższa liczby elementów przeciwdziedziny, co było do udowodnienia.