Praca, wciągnięcie ciała na wierzchołek półkuli

[El Sajmono]

Witajcie

Mam problem z następującym zadaniem:

Wyznaczyć pracę \(\displaystyle{ L}\), jaką trzeba wykonać, by ciało o masie \(\displaystyle{ m}\) wciągnąć na wierzchołek półkuli o promieniu \(\displaystyle{ R}\). Współczynnik tarcia pomiędzy powierzchnią ciała i półkuli wynosi \(\displaystyle{ \mu}\).

Do tego jest prosty rysunek z półkolem, z poprowadzonym promieniem i zaznaczonym kątem \(\displaystyle{ \varphi}\) pomiędzy nim a podstawą wraz z rozpisanymi siłami \(\displaystyle{ T}\), \(\displaystyle{ F}\), \(\displaystyle{ N}\) oraz siłą grawitacji \(\displaystyle{ mg}\).

Zadanie to pochodzi z książki Krysicki Włodarski nr. 20.172

Odpowiedź do zadania: \(\displaystyle{ L = mgR \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} }(\cos\varphi + \mu sin\varphi)d\varphi = mgR(1+\mu)}\)

Bardzo prosiłbym o jakieś wskazówki jak ruszyć to zadanie. (W jaki sposób otrzymać całkę w takiej postaci)

Pozdrawiam.-- 12 kwi 2015, o 12:11 --Ok, umieszczam jeszcze rysunek do zadania:


Co udało mi się zrobić:

Równolegle do siły \(\displaystyle{ T}\) zaznaczyłem siłę \(\displaystyle{ F_{s}}\)
Z rysunku wyprowadziłem zależności:
\(\displaystyle{ F_{s} = mg\cos\varphi}\)
\(\displaystyle{ N = mg\sin\varphi}\)
\(\displaystyle{ T = \mu N = \mu mg\sin\varphi}\)
\(\displaystyle{ F = F_{s} + T = mg(\cos\varphi + \mu \sin\varphi)}\)
\(\displaystyle{ W = Fs =mgs(\cos\varphi + \mu \sin\varphi)}\)
gdzie \(\displaystyle{ s}\) to droga jaką pokonuje ciało.

Chcąc wyznaczyć całkowitą siłę potrzebną na wciągnięcie ciała na wierzchołek półkuli całkuję powyższe wyrażenie w zakresie od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\).

Zastanawia mnie tylko, dlaczego wg odpowiedzi \(\displaystyle{ s = R}\)?
Czy nie powinno być przypadkiem \(\displaystyle{ s = \frac{2 \pi R}{4}}\)?

Pozdrawiam.

[pvnrt]

\(\displaystyle{ s=R d \varphi}\)