Przekształcenie funkcji kwadratowej - trudne

[Michcio14]

Wykres funkcji g jest obrazem wykresu funkcji f okreslonej wzorem \(\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c}\) w przesunięciu o wektor \(\displaystyle{ [0,a]}\).
Udowodnij, że jezeli \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\) są miejscami zerowymi funcji f takimi że \(\displaystyle{ \left| x_{1} - x_{2} \right|<1}\), to funkcja g nie ma miejsc zerowych

Bardzo trudne zadanie dla mnie szczerze mówiąc.
Doszedłem jedynie do postaci funkcji \(\displaystyle{ g(x)=ax^{2}+bx+a+c}\)

[Medea 2]

Ja bym próbowała tak. Niech \(\displaystyle{ a > 0}\), drugi przypadek będzie wyglądał analogicznie. Chcemy pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ g}\) przyjmuje tylko dodatnie wartości. Czyli ma ujemną deltę.

\(\displaystyle{ \Delta_g = b^2 - 4a(a+c) < 0.}\)

Z drugiej strony, możemy się umówić, że \(\displaystyle{ x_2 > x_1}\). Wtedy

\(\displaystyle{ |x_2-x_1| = \frac{-b+\sqrt{\Delta_f}}{2a} - \frac{-b-\sqrt{\Delta_f}}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta_f}}{a} < 1.}\)

Czyli \(\displaystyle{ b^2 - 4ac < a^2}\). Chcieliśmy pokazać, że \(\displaystyle{ b^2-4ac < 4a^2}\). Chyba wszystko gra!

[Michcio14]

Czyli \(\displaystyle{ b^2 - 4ac < a^2}\)

Mi wyszło po prostu \(\displaystyle{ a}\) zamiast \(\displaystyle{ a^{2}}\), sprawdź czy to przekształcenie co Ty podałaś na pewno jest dobre.
Chociaż dla \(\displaystyle{ a>0}\) i tak jeżeli jakaś liczba jest mniejsza od x, to bedzie też mniejsza od czterokrotnego kwadratu liczby x.

Napiszesz jeszcze drugi przypadek \(\displaystyle{ a<0}\) bo coś mi nie chce wyjść (nie umiem tam tego minusa zastosować za bardzo)

[Medea 2]

Jest kwadrat, bo przecież \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta_f} = \sqrt{b^2-4ac}}\)...

Twoje drugie sformułowanie jest fałszywe. Weź \(\displaystyle{ \lambda = 1/1000}\). Wtedy \(\displaystyle{ 4\lambda^2 = 4 \cdot 10^{-6}}\), mniej niż \(\displaystyle{ \lambda}\).

[Michcio14]

Czyli \(\displaystyle{ b^2 - 4ac < a^2}\). Chcieliśmy pokazać, że \(\displaystyle{ b^2-4ac < 4a^2}\). Chyba wszystko gra!

No to tu tez to będzie fałszywe?
Faktycznie, swój błąd zrozumiałem, ale wobec tego co teraz piszesz, trochę się pogubiłem, bo znalazłaś liczbę.

[Zahion]

Udowodnimy mocniejszą tezę, mianowicie, że jeśli \(\displaystyle{ \left| x_{1} - x_{2} \right|< 2}\), to funkcja \(\displaystyle{ g}\) nie ma pierwiastków. Oczywiście \(\displaystyle{ \left| x_{1} - x_{2} \right| = \sqrt{\left( x_{1}-x_{2}\right)^{2} }= \sqrt{\left( x_{1}+x_{2}\right)^{2}+4x_{1}x_{2} }= \sqrt{ \frac{b^{2}-4ac}{a^{2}} }<2}\). Oczywiście deltę mamy założoną, że jest nieujemna. Możemy podnieść stronami do kwadratu, otrzymując, że \(\displaystyle{ b^{2} - 4ac - 4a^{2} < 0}\), a przecież \(\displaystyle{ \Delta_{g} = b^{2}-4ac-4a^{2}}\).

[Michcio14]

Ok ale chodziło o dowód \(\displaystyle{ -1 <x_{1} - x_{2} <1}\)
Masz jakiś pomysł na to albo potwierdzasz rozwiazanie zaproponowane przez użytkownika Medea 2?

[Jan Kraszewski]

Oczywiście \(\displaystyle{ \left| x_{1} - x_{2} \right| = \red\sqrt{\left( x_{1}-x_{2}\right)^{2} }= \sqrt{\left( x_{1}+x_{2}\right)^{2}+4x_{1}x_{2} }\black= \sqrt{ \frac{b^{2}-4ac}{a^{2}} }<2}\).

Raczej \(\displaystyle{ \sqrt{\left( x_{1}-x_{2}\right)^{2} }= \sqrt{\left( x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4x_{1}x_{2} }}\).

Ok ale chodziło o dowód \(\displaystyle{ -1 <x_{1} - x_{2} <1}\)
Masz jakiś pomysł na to albo potwierdzasz rozwiazanie zaproponowane przez użytkownika Medea 2?

No ale przecież dowód dla \(\displaystyle{ -2 <x_{1} - x_{2} <2}\) jest lepszy, bo ma słabsze założenie.

JK

[Zahion]

Rzeczywiście nie zauważyłem, dziękuje za poprawę.
Aż dziwne, że nikt wcześniej nie zwrócił uwagi

[Michcio14]

Witam serdecznie, dziękuję za pomoc w rozwiązaniu problemu.
Poszły pkt pomógł, bądźcie czujni, bo będę zamieszczał kolejne zadanka.
Pozdrawiam!