Centralne Twierdzenie Graniczne - problem z interpretacją

[Kaef]

Miasto K liczy sobie 160000 obywateli. Kasa chorych podpisała kontrakty z 50 lekarzami rodzinnymi, z których każdy może obsługiwać co najwyżej 3300 pacjentów. Czy ta liczba lekarzy będzie wystarczająca, jeżeli chcemy, by prawdopodobieństwo, że mieszkaniec K nie zostanie zarejestrowany u wybranego lekarza było mniejsze niż 0,05, zakładając, że obywatele miasta K dokonują wyboru lekarza w sposób całkowicie losowy i niezależny?

\(\displaystyle{ n=160000}\) - liczba mieszkańców miasta K

\(\displaystyle{ X_i= \begin{cases} 1, \quad \textnormal{gdy i-ty mieszkaniec zostanie zarejestrowany u wybranego lekarza}\\ 0, \quad \textnormal{gdy i-ty mieszkaniec nie zostanie zarejestrowany u wybranego lekarza}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ S_n=\sum_1^n X_i}\) - liczba osób zarejestrowanych u wybranego przez siebie lekarza

\(\displaystyle{ k}\)-liczba lekarzy


I liczę:

\(\displaystyle{ P(S_n > 3300k)<0,05}\)

Parametr \(\displaystyle{ n}\) mam, ale mam problem z \(\displaystyle{ p}\) i generalnie z tym, co tak naprawdę ma mi wyjść. Odpowiedź jest, że liczba lekarzy jest wystarczająca, więc mam pokazać, że moje \(\displaystyle{ k}\) jest mniejsze, ewentualnie równe \(\displaystyle{ 50}\)?

Ile wynosi \(\displaystyle{ p}\)? \(\displaystyle{ \quad}\) \(\displaystyle{ \frac{1}{50}}\), \(\displaystyle{ \quad}\)\(\displaystyle{ \frac{1}{k}}\), czy jeszcze jakoś inaczej?

Mógłby mnie ktoś naprowadzić?

[akermann1]

Myślę, że pierwsza sprawa to standaryzacja...trzeba obliczyć \(\displaystyle{ EX}\) oraz \(\displaystyle{ Var}\) następnie myślę, że można już korzystać z \(\displaystyle{ CTG}\)

Następnie \(\displaystyle{ \mathbb{P}\left[ \frac{X_{1},..,X_{160000}-160000 \cdot EX}{ \sqrt{160000 \cdot Var} } \ge \frac{3300 - 160000 \cdot EX}{\sqrt{160000 \cdot Var}} \right]}\)

#Edit

Jak obliczysz już to to pomogę w dokończeniu .

[Kaef]

Świetnie, ale żeby obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję, jak mi dobrze wiadomo, potrzeba \(\displaystyle{ p}\), a ja z tym mam problem, jak wyżej napisałam. Więc?

[Paulina-Anna]

Wiem, że jest już za późno, ale może przyda się to komuś innemu.

Otóż \(\displaystyle{ P(X_i = 1) = \frac{1}{k}}\) - mamy \(\displaystyle{ k}\) lekarzy, a pacjent wybiera lekarza w sposób całkowicie losowy - treść zadania brzmi " zakładając, że obywatele miasta K dokonują wyboru lekarza w sposób całkowicie losowy i niezależny".

Jeśli chodzi o odchylenie standardowe, to \(\displaystyle{ p(1-p) \le \frac{1}{4}}\), a jako że przy szacowaniu od dołu bierzemy pod uwagę najgorszy przypadek, to wstawiamy wariancję równą \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\).

EDIT

W sumie lepiej chyba po prostu wstawić \(\displaystyle{ k=50}\), wtedy \(\displaystyle{ p=\frac{1}{50}}\), zrobić standaryzację i policzyć, czy dana wartość \(\displaystyle{ \Phi(...) > 0,95}\)