Czy operator liniowy jest ciągły.

[Nina1990]

Moim zadaniem jest sprawdzenie, czy podany operator liniowy jest ciągły i wyznaczyć jego normę.
\(\displaystyle{ T:(c[0,1],|| \cdot ||_{sup}) \rightarrow (c[0,1],|| \cdot ||_{1})}\)
\(\displaystyle{ (Tf)(x)=f(0)x^{2}}\) dla \(\displaystyle{ f \in c[0,1], x \in [0,1]}\)

Sprawdziłam, że wartości są poprawnie określone. Oraz udało mu się sprawdzić liniowość.
Jednak problem pojawił się z ograniczonością.
\(\displaystyle{ \exists M>0 \forall f \in c[0,1] ||T_{f}|| \le M||f||_{sup}}\)
1. Skąd to supremum? Zawsze biorę normę z dziedziny?
\(\displaystyle{ ||g||_{1}= \int_{0}^{1}|g(t)|}\)
2. i skąd wzieła mi się ta całka.
\(\displaystyle{ ||g||_{su[}=sup|g(t)|}\)
te 3 linijki są dla mnie nie zrozumiałe...
Bardzo prosłabym o wyjaśnienie.

[PiotrowskiW]

\(\displaystyle{ T:(c[0,1],|| \cdot ||_{sup}) \rightarrow (c[0,1],|| \cdot ||_{1})}\)

To powyżej powinno wyjaśniać wszystko...

Masz wziąć dowolny element z dziedziny operatora i pokazać, że norma obrazu tego elementu przez operator T jest nie większa od normy elementu razy pewna stała.
Całka to norma przeciwdziedzinie.
Supremum to norma w dziedzinie operatora, bo tak sobie autor zadania ustalił.
Te 3 linijki których nie rozumiesz to są definicje...

Odpowiedź do zadania składa się z jednej nierówności. Musisz to zrobić sama.

[Nina1990]

A dlaczego wykazując taką nierówność:
\(\displaystyle{ ||tf \le M||f||}\) opuszczamy nasze \(\displaystyle{ f}\)?

[PiotrowskiW]

Nie rozumiem pytania.

[Nina1990]

A jak wyznaczyć normę tego operatora?

[PiotrowskiW]

\(\displaystyle{ ||T(f)||_{1}= \int_{0}^{1}|f(t)|dt \le 1 \cdot sup\left| f(t)\right|=||f||_{sup}}\)
Teraz weź funkcję stałą np. \(\displaystyle{ f:=1}\) i zauważ, że równość jest realizowana.