Zbiór wartości funkcji - szereg geometryczny

[Masita+++]

Wyznacz zbiór wartości funkcji:
a) \(\displaystyle{ y=\cos x+\cos^{2} x+\cos^{3} x+...}\)
b) \(\displaystyle{ y=\sin x-2\sin^{2} x+4\sin^{3} x+...}\)

\(\displaystyle{ \cosx}\)

Dziękuje za pomoc

[mortan517]

Wzór na szereg geometryczny zastosuj. Czy drugi przykład na pewno jest dobrze zapisany? Popatrz na znaki.

[Masita+++]

Tak znaki są dobre. Wiem że wzór ale co dalej ? Wychodzi \(\displaystyle{ y = \frac{\cos x}{1 - \cos x } dla |\cos x|>1}\)

[mortan517]

Chodzi mi o to czy na przemian nie ma być plus minus?

Drugie: jaki jest warunek na \(\displaystyle{ q}\)?

[Seth Briars]

a) Szereg jest zbieżny gdy \(\displaystyle{ |\cos(x)|<1}\) (w przeciwnym razie jest rozbieżny) tj. dokładnie wtedy gdy \(\displaystyle{ x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}}\), a więc tak jak napisałaś \(\displaystyle{ y=\frac{\cos(x)}{1-\cos(x)}}\). Rozważmy pomocniczo wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{t}{1-t}}\) dla \(\displaystyle{ t \in (-1,1)}\) i zastanówmy się dla jakiego \(\displaystyle{ z \in \mathbb{R}}\) równanie \(\displaystyle{ z=\frac{t}{1-t}}\) nie jest sprzeczne (gdy \(\displaystyle{ t \in (-1,1)}\)). Pomnóżmy równoważnie obie strony tego równania przez \(\displaystyle{ 1-t}\) (\(\displaystyle{ 1-t \neq 0}\)). Otrzymamy \(\displaystyle{ z-zt=t}\), co z kolei jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ t(z+1)=z}\). Widzimy, że dla \(\displaystyle{ z=-1}\) równanie nie ma rozwiązań, więc zakładamy dalej, że \(\displaystyle{ z \neq -1}\). Wtedy możemy podzielić przez \(\displaystyle{ z+1}\) i otrzymamy \(\displaystyle{ t=\frac{z}{z+1}}\). Ale \(\displaystyle{ t \in (-1,1)}\), więc musi też być \(\displaystyle{ -1 <\frac{z}{z+1}<1}\). Po rozwiązaniu tej podwójnej nierówności otrzymasz \(\displaystyle{ z>-\frac{1}{2}}\).
Ponieważ dla każdego \(\displaystyle{ t \in (-1,1)}\) istnieje takie \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}, x \neq k\pi, k\in \mathbb{Z}}\), że \(\displaystyle{ t=\cos(x)}\), więc \(\displaystyle{ \left(-\frac{1}{2}, \infty \right)}\) jest szukanym zbiorem wartości.


b) W tym przypadku z kolei musi być \(\displaystyle{ |-2\sin(x)|<1}\) tj. \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}<\sin(x)<\frac{1}{2}}\). Otrzymujesz \(\displaystyle{ y=\frac{\sin(x)}{1+2\sin(x)}}\). Rozumując analogicznie rozważasz pomocniczo \(\displaystyle{ \frac{t}{1+2t}}\) dla \(\displaystyle{ t \in \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}\), analizujesz równanie \(\displaystyle{ z=\frac{t}{1+2t}}\) - jest sprzeczne dla \(\displaystyle{ z=\frac{1}{2}}\), dla \(\displaystyle{ z \neq \frac{1}{2}}\) (co dalej zakładamy) ma rozwiązanie \(\displaystyle{ t=\frac{z}{1-2z}}\). Następnie rozwiązujesz nierówność \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}<\frac{z}{1-2z}<\frac{1}{2}}\) otrzymujesz, że \(\displaystyle{ \left(- \infty ,\frac{1}{4}\right)}\) jest zbiorem rozwiązań rozważanego wyrażenia, a więc i zbiorem wartości \(\displaystyle{ y=\frac{\sin(x)}{1+2\sin(x)}}\).

[mortan517]

Wystarczy rozpatrzeć funkcję:

\(\displaystyle{ \frac{t}{1-t}=-\frac{t-1+1}{t-1}=-1-\frac{1}{t-1}}\)

dla \(\displaystyle{ t \in (-1,1)}\)

[Masita+++]

Bardzo dziękuje. Zadanie jest teraz bardzo proste