Znalezienie funkcji pomiędzy

[Fanik]

Czy można znaleźć taką funkcje f(x), aby spełnione było:
\(\displaystyle{ \forall a > 0{\mbox{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{a\ln (\ln x)}}{{f(x)}} = 0{\mbox{ }} \wedge {\mbox{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f(x)}}{{\frac{1}{a}\ln (x)}} = 0}\)

[Gouranga]

\(\displaystyle{ a}\) możesz wyciągnąć przed granicę w obu przypadkach bo to stała

[Fanik]

Wystarczyło wziąć \(\displaystyle{ f(x) = \sqrt {\ln x}}\).

Tak naprawdę chodziło o znalezienie takiej funkcji f(x), aby dla dowolnego a,b>0 spełniona była w nieskończoności nierówność:
\(\displaystyle{ \left( {\ln x} \right)^a \le f(x) \le x^b}\)

Wystarczy zatem za f(x) wziąć \(\displaystyle{ e^{\sqrt {\ln x} }}\).