Tożsamości rachunku zbiorów

[S1nner]

Witam,
proszę o rozwiązanie następujących przykładów:

Udowodnić, że:
1. \(\displaystyle{ A \times (B \cup C)=(A \times B) \cup (A \times C)}\)

2. \(\displaystyle{ (B \cap C) \times A=(B \times A) \cap (C \times A)}\)

Z góry dziękuje.

[a4karo]

Pokaż własne próby rozwiązania

[S1nner]

Pokaż własne próby rozwiązania

1. \(\displaystyle{ A \times (B \cup C)=(A \times B) \cup (A \times C)}\)

Niech \(\displaystyle{ (x,y) \in A \times (B \cup C)}\), oznacza to, że \(\displaystyle{ x \in A}\) i jednocześnie \(\displaystyle{ y \in (B \cup C)}\). Zatem \(\displaystyle{ x \in A}\) i jednocześnie \(\displaystyle{ y \in B}\), bądź \(\displaystyle{ y \in c}\). Więc albo \(\displaystyle{ x \in A}\) i \(\displaystyle{ y \in B}\), albo \(\displaystyle{ x \in A}\) i \(\displaystyle{ y \in C}\). Czyli \(\displaystyle{ (x,y) \in A \times B}\), albo \(\displaystyle{ (x,y) \in A \times C}\) Zatem:

\(\displaystyle{ (x,y) \in (A \times B) \cup (A \times C)}\)

2. \(\displaystyle{ (B \cap C) \times A=(B \times A) \cap (C \times A)}\)

Niech \(\displaystyle{ (x,y) \in (B \cap C) \times A}\), oznacza to, że \(\displaystyle{ x \in (B \cap C)}\) i jednocześnie \(\displaystyle{ y \in A}\). Zatem \(\displaystyle{ x \in B}\) i jednocześnie \(\displaystyle{ y \in A}\), oraz\(\displaystyle{ x \in C}\) i jednocześnie \(\displaystyle{ y \in A}\). Więc \(\displaystyle{ x \in B}\) i \(\displaystyle{ y \in A}\), oraz \(\displaystyle{ x \in C}\) i \(\displaystyle{ y \in A}\). Czyli \(\displaystyle{ (x,y) \in B \times A}\), i \(\displaystyle{ (x,y) \in C \times A}\) Zatem:

\(\displaystyle{ (B \times A) \cap (C \times A)}\)

Wydaje mi się, że tak to powinno wyglądać :>

P.S

Dzięki za pomoc!

[a4karo]

OK. To sa dowody zawierań w jedna stronę (uzywasz sformułowań typu "zatem" więc", które sugeruja wynikanie w jedna strone). W drugą są podobne, ale trzeba je przeprowadzić. Powodzenia

[Jan Kraszewski]

OK. To sa dowody zawierań w jedna stronę (uzywasz sformułowań typu "zatem" więc", które sugeruja wynikanie w jedna strone). W drugą są podobne, ale trzeba je przeprowadzić.

Albo zauważyć, że wykonane przejścia są równoważne.

JK