granica ciągu + trygonometria

[wojteko10]

Nie mogę poradzić sobie z policzeniem granicy:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{2\left( n- \sqrt{n ^{2}+n } \right) }{x \cdot n \cdot \sin \left( \frac{1}{n} \right) }}\)

[mortan517]

Na pewno ma tam być \(\displaystyle{ x}\)? Granica specjalna i mnożysz przez sprzężenie licznika.

[wojteko10]

Tak, x tam też jest bo to tylko fragment zadania, które rozwiązuje

edit:

tylko nie wiem co zrobić z tym sinusem

[mortan517]

No właśnie z nim szukaj granicy specjalnej.

[wojteko10]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to0 } \frac{\sin \left( x\right) }{x} =1}\)

z tego warto skorzystać? bo pierwszy raz spotykam się z granicą specjalną.

[mortan517]

Edit: zmieniłeś posta w trakcie jak pisałem

Tak o tą chodzi

[szachimat]

Wskazówka, którą podaje wojteko10 plus pomnożenie licznika i mianownika przez \(\displaystyle{ (n+ \sqrt{n^2+n})}\).

[wojteko10]

Wydaje mi się, że policzyłem. Wyszło -1.

Tylko nie jestem pewien jak udowodnić, że:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sin \left( \frac{1}{n} \right) \cdot n = \lim_{x \to0 } \frac{\sin \left( x\right) }{x}}\)

[szachimat]

\(\displaystyle{ n \cdot \sin \frac{1}{n}= \frac{\sin \frac{1}{n} }{ \frac{1}{n} }}\)

[mortan517]

Wynik to \(\displaystyle{ \frac{-1}{x}}\), no chyba, że wyłączyłeś przed granicę.