Mam problem ze zbieżnością szeregu, nie wiem z jakich własności funkcji gamma skorzystać żeby coś zobaczyć
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\Gamma \left( \frac{n+1}{\beta}\right)}{\Gamma \left( \frac{1}{\beta} \right) } \right) \right) ^{ \frac{-1}{2n} } \quad \text{dla} \quad 0 < \beta < 1}\)
zbieżność szergu
-
arek1357
zbieżność szergu
No ja tu też ciemności widzę ale zobaczmy co się da zrobić z jedną drugą...
weź np:
\(\displaystyle{ \beta = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \Gamma\left( \frac{n+1}{ \frac{1}{2} } \right)=\Gamma\left( 2n+2\right)=(2n-1)!}\)
\(\displaystyle{ \Gamma\left( \frac{1}{ \beta } \right)=\Gamma\left( 2\right)=1}\)
reasumując:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\left( \frac{\Gamma\left( \frac{n+1}{ \beta } \right) }{\Gamma\left( \frac{1}{ \beta } \right) } \right)^{- \frac{1}{2n} }=}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\left( \frac{\Gamma\left( \frac{1}{ \beta } \right) }{\Gamma\left( \frac{n+1}{ \beta } \right) } \right)^{ \frac{1}{2n} }= \sum_{n=1}^{ \infty }\left( \frac{\Gamma\left( 2\right) }{\Gamma\left( 2n+2\right) } \right)^{ \frac{1}{2n} }= \sum_{n=1}^{ \infty }\left( \frac{1}{\left( 2n+1\right)! } \right)^{ \frac{1}{2n} }= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\left[ \left( 2n+1\right)! \right]^{ \frac{1}{2n} } } \ge \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n}}\)
A ten ostatni szereg wygląda bardzo na szereg rozbieżny!!
Wydaje się dla innych bet podobnie.
weź np:
\(\displaystyle{ \beta = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \Gamma\left( \frac{n+1}{ \frac{1}{2} } \right)=\Gamma\left( 2n+2\right)=(2n-1)!}\)
\(\displaystyle{ \Gamma\left( \frac{1}{ \beta } \right)=\Gamma\left( 2\right)=1}\)
reasumując:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\left( \frac{\Gamma\left( \frac{n+1}{ \beta } \right) }{\Gamma\left( \frac{1}{ \beta } \right) } \right)^{- \frac{1}{2n} }=}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\left( \frac{\Gamma\left( \frac{1}{ \beta } \right) }{\Gamma\left( \frac{n+1}{ \beta } \right) } \right)^{ \frac{1}{2n} }= \sum_{n=1}^{ \infty }\left( \frac{\Gamma\left( 2\right) }{\Gamma\left( 2n+2\right) } \right)^{ \frac{1}{2n} }= \sum_{n=1}^{ \infty }\left( \frac{1}{\left( 2n+1\right)! } \right)^{ \frac{1}{2n} }= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\left[ \left( 2n+1\right)! \right]^{ \frac{1}{2n} } } \ge \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n}}\)
A ten ostatni szereg wygląda bardzo na szereg rozbieżny!!
Wydaje się dla innych bet podobnie.