Norma operatora, iniekcja, suriekcja zad. 1.

[myszka666]

Wyznaczyć normę operatora \(\displaystyle{ A}\), sprawdzić, czy \(\displaystyle{ A}\) spełnia warunki iniekcji, suriekcji oraz czy jest to operator otwarty:
a) \(\displaystyle{ A:l^1 \rightarrow l^1}\), \(\displaystyle{ A \left( x_{1},x_{2},x_{3},... \right) = \left( x_{1}+x_{2},x_{2}+x_{3},x_{3}+x_{4},... \right)}\),
b) \(\displaystyle{ A:l^\infty \rightarrow c_{0}}\), \(\displaystyle{ A \left( x_{1},x_{2},x_{3},... \right) = \left( x_{1}, \frac{x_{2}}{2}, \frac{x_{3}}{3 }, \frac{x_{4}}{4},... \right)}\)
c) \(\displaystyle{ A:c_{00} \rightarrow c_{0}}\), \(\displaystyle{ \left( x_{1},x_{2},x_{3},... \right) = \left( x_{1}, 2x_{2}, 3x_{3}, 4x_{4},... \right)}\)
d) \(\displaystyle{ A:C \left( \left[ 0,1 \right] \right) \rightarrow C^{1} \left( \left[ 0,1 \right] \right)}\), \(\displaystyle{ \left( Ax \right) \left( t \right) = \int_{0}^{t}tsx \left( s \right) ds}\) (z normami supremum)
e) \(\displaystyle{ A:C \left( \left[ 0,1 \right] \right) \rightarrow C \left( \left[ 0,1 \right] \right)}\), \(\displaystyle{ \left( Ax \right) \left( t \right) = \int_{0}^{t}\sin \left( \pi s \right) x \left( s \right) ds}\) (z normami supremum).

W b) wyszła mi norma \(\displaystyle{ 1}\) i że jest iniekcją, w c) że jest iniekcją. Co do pozostałych to nie wiem jak je ruszyć

[Medea 2]

Pierwszy nie jest różnowartościowy. Weź ciąg \(\displaystyle{ x_n}\): reszta z dzielenia przez dwa i \(\displaystyle{ y_n = 1-x_n}\).