Miary kątów trójkąta kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego

[bartosz254]

Witam. Jestem Bartek i to jest mój pierwszy post na tym forum ale nie pierwsza wizyta Proszę o pomoc przy dowodzie:
Wykaż że jeżeli miary kątów trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie 2, to między długościami a, b, c boków tego trójkąta zachodzi ziązek \(\displaystyle{ \frac{1}{a}= \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}\)

[wujomaro]

Proponowałbym wyznaczyć miary tych kątów, a potem kombinować z tw. sinusów.
Pozdrawiam!

[bartosz254]

czy mógłbym tak zapisać kąty
\(\displaystyle{ \alpha = a _{1} \\
\beta = a_{1} \cdot 2 \\
\gamma = a_{1} \cdot 2^{2}}\)
?

[wujomaro]

Tak.

[bartosz254]

a czy taki zapis nie byłby dokładniejszy?
\(\displaystyle{ \alpha = a _{1} \cdot 2^{n}}\)
\(\displaystyle{ \beta = a_{1} \cdot 2^{n+1}}\)
\(\displaystyle{ \gamma = a_{1} \cdot 2^{n+2}}\)
W treści nie jest napisane że są to początkowe wyrazy ciągu.

[wujomaro]

Masz po prostu znaleźć te kąty. Wiedząc ile wynosi suma kątów w trójkącie możesz to zrobić. Oba te zapisy doprowadzą do tego samego.
Pozdrawiam!

[szachimat]

a czy taki zapis nie byłby dokładniejszy?
\(\displaystyle{ \alpha = a _{1}*2^{n}}\)
\(\displaystyle{ \beta = a_{1} * 2^{n+1}}\)
\(\displaystyle{ \gamma = a_{1}* 2^{n+2}}\)
W treści nie jest napisane że są to początkowe wyrazy ciągu.

Ale na pewno miara drugiego kąta jest miarą kąta pierwszego pomnożoną przez 2, a miara kąta trzeciego to pomnożenie przez 4.

[bartosz254]

Próbuje łączyć tw. sin i tw. cos ale wychodzą mi głupoty. Mógłbym prosić o dalsze wskazówki?

[a4karo]

Tezę możesz zapisać tak
\(\displaystyle{ R/a=R/b+R/c}\)
co da ci równość wiążąca sinusy kątów. A ponieważ kąty są znane...