całka podwójna

[nevergiveup]

mam całeczkę \(\displaystyle{ \iint_{D}xy^2dxdy}\), gdzie D jest obszarem ograniczonym przez:
\(\displaystyle{ y^{3} = x}\)
\(\displaystyle{ x=1}\)
\(\displaystyle{ x+y=0}\)

i tu rodzi się pierwsze pytanie, czy \(\displaystyle{ y^{3}=x}\) to \(\displaystyle{ y=\sqrt[3]{x}}\) a jeśli tak to czy istnieją jeszcze inne rozwiązania tego równania ?

No i wychodzi mi tak:
Obszar całkowania:
D=\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \le x \le 1\\-x \le y \le \sqrt[3]{x} \end{cases}}\)
Całka podwójna:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{-x}^{\sqrt[3]{x}} (xy^{2}) dx dy}\)
Najpierw całkuje po y:
\(\displaystyle{ \int xy^{2}dy = x \int y^{2}dy = x \cdot \frac{1}{3}y^{3} + C = \frac{1}{3}xy^{3}+C}\)
Podstawiam wynik do granic:
\(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{1}{3}xy^{3} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{1}{3}x(\sqrt[3]{x})^{3} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{1}{3}x\cdot (-x)^{3} \right\rfloor=\frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{3} (-x)^4}\)

I tu drugie pytanie, czy do tej pory jest dobrze rozwiązane ? Bo wydaje mi się, że coś sknociłem
Pomoże ktoś?

[SlotaWoj]

W ostatnim wzorze jest drobny błąd. Powinno być:

• \(\displaystyle{ \dots \ =\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}x^4}\)

Rób dalej.

[nevergiveup]

Tak myślałem, ale wolałem się upewnić ten nawias i potęgowanie mnie trochę zmyliło. Zadanie rozwiązałem, temat do zamknięcia.