norma w C([0,a])

[magda87]

Kompletnie nie wiem co z tym zrobić , może ktoś da jakąś wskazówkę:

Niech \(\displaystyle{ \lambda \ge 0.}\) Wykazać, że wzór

\(\displaystyle{ \|x\|_\lambda = \sup\limits_{0 \le t \le a}e ^{-\lambda t} \left| x(t)\right|}\)

dla \(\displaystyle{ x \in C([0,a])}\) określa normę w przestrzeni \(\displaystyle{ C([0,a])}\) funkcji ciągłych na przedziale \(\displaystyle{ [0,a]}\)

[Barbara777]

Sprawdzasz aksjomaty normy, nic wiecej. Przyda sie fakt, ze funkcja wykladnicza jest dodatnia dla dowolnych wartosci argumentu.

[magda87]

czyli :
\(\displaystyle{ 1.\;\; \|x\|_\lambda = 0 \Leftrightarrow \sup\limits_{0 \le t \le a}e^{-\lambda t}\left| x(t)\right| = 0 \Leftrightarrow e^{-\lambda t}\left| x(t)\right| = 0 \;\;\text{dla każdego}\;\;t\in[0,a] \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow x(t) = 0 \;\;\text{dla każdego}\;\; t\in[0,a] \Leftrightarrow x=0\\

2.\;\; \|x+y\|_\lambda = \sup\limits_{0 \le t \le a}e^{-\lambda t}\left| (x+y)(t)\right| = \sup\limits_{0 \le t \le a}e^{-\lambda t}\left| x(t) + y(t)\right| \le \\ \le \sup\limits_{0 \le t \le a}e^{-\lambda t}(\left| x(t)\right| +\left| y(t)\right|) = \sup\limits_{0 \le t \le a}e^{-\lambda t}\left| x(t)\right|+\sup\limits_{0 \le t \le a}e^{-\lambda t}\left| y(t)\right| = \|x\|_\lambda+\|y\|_\lambda\\

3.\;\; \|\alpha x\|_\lambda = \sup\limits_{0 \le t \le a}e^{-\lambda t}\left| (\alpha x)(t)\right| = \sup\limits_{0 \le t \le a}e^{-\lambda t}\left| \alpha x(t)\right| = \sup\limits_{0 \le t \le a}e^{-\lambda t} \left| \alpha\right| \left|x(t)\right| = \\= \left| \alpha\right|\sup\limits_{0 \le t \le a}e^{-\lambda t} \left|x(t)\right| = \left| \alpha\right|\|x\|_\lambda}\)-- 30 mar 2015, o 17:45 --czy to jest dobrze rozpisane?

[M Ciesielski]

Zastanów się nad przedostatnią równością w puncie 2.