czy wzór określa normę?

[magda87]

Witam, mam zdanie w którym muszę sprawdzić czy wzór
\(\displaystyle{ N(x) = \left| x_1 + x_2 + x_3\right|^2 \;\; \text{dla}\;\; x = (x_1,x_2,x_3)}\)
określa normę w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\).

Zaczęłam sprawdzać warunki z definicji normy ale nie wiem czy dobrze:
\(\displaystyle{ 1.\;\;N(x) = 0 \Leftrightarrow \left| x_1 + x_2 + x_3\right|^2 = 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left| x_1 + x_2 + x_3\right|= 0 \Leftrightarrow x_1 = 0, x_2 = 0, x_3 = 0\\\\
2.\;\;N( \alpha x) = \left| \alpha x_1 + \alpha x_2 + \alpha x_3\right|^2 = \\=\left| \alpha (x_1 + x_2 + x_3)\right|^2 = \left| \alpha \right|\left| x_1 + x_2 + x_3\right|^2 = \alpha N(x)\\\\
3. \;\;N(x+y) = \left| x_1 + y_1 + x_2 + y_2 + x_3 + y_3\right|^2 = \\=\left| x_1 + x_2 + x_3 + y_1 + y_2 + y_3\right|^2 \le \left| x_1 + x_2 + x_3\right|^2 + \left| y_1 + y_2 + y_3\right|^2 =\\= N(x) + N(y)}\)

Proszę niech ktoś rzuci okiem i napisze czy jest ok?

[MadJack]

Nie określa normy, ponieważ nie jest spełniony pierwszy punkt. Zauważ, że gdy
\(\displaystyle{ x = (x_1, x_2, x_3)}\) i \(\displaystyle{ x_1 = -(x_2+x_3)}\), to \(\displaystyle{ N(x) = 0}\), zatem pożądana implikacja nie zachodzi.
I tak na przyszłość- przy sprawdzaniu drugiego warunku zgubiłaś moduł przy alfa po ostatniej równości.

[M Ciesielski]

Moduł jest niepotrzebny, kwadratu brakuje w przedostatniej równości również.