całka oznaczona z sin

[mat9876]

Witam to ponownie ja
Mam całkę
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } sin^{n}x dx}\)

Rozpisałam ją wg wzoru rekurencyjnego ale nie wiem co dalej podstawić do wyrażenia to \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ \sin^{n} x=(-\ctg x)'\sin^{n+2} x}\) i dalej przez części, to powinno pozwolić na wyprowadzenie zależności rekurencyjnej.
Ale Twojego pytania to za bardzo nie rozumiem, miło by było, gdybyś spróbował składniej się wysłowić.
A jak już masz wzór rekurencyjny, to nie rozumiem w czym problem.

[mat9876]

no mam obliczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } sin^{n} x dx}\) i mam


\(\displaystyle{ - \frac{1}{n} sin^{n-1} x cosx + \frac{n-1}{n} \int_{}^{} sin^{n-2}}\)


i co dalej począć ?

[Premislav]

Policzyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }\sin x dx}\) oraz \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }\sin^{2} x dx}\) i to będą wartości, dzięki którym "Twoja" rekurencja wystartuje. A, no i jeszcze policzyć
\(\displaystyle{ - \frac{1}{n} sin^{n-1} x cosx \bigg{|} ^{ \frac{\pi}{2} } _{0}}\)

[mat9876]

dlaczego trzeba liczyć te wskazane całki \(\displaystyle{ sinx}\) i \(\displaystyle{ sin^{2}}\) ?

[Premislav]

Jest to konieczne, jeśli chcesz obliczyć tę całkę dla jakiegoś konkretnego \(\displaystyle{ n}\) lub po prostu podać jakiś wzór jawny na całkę po tym przedziale z \(\displaystyle{ n.}\) potęgi sinusa.
Np. jest nieskończenie wiele ciągów \(\displaystyle{ (x_{n})_{n\in \NN}}\) takich że \(\displaystyle{ x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\)
Tu masz ciąg \(\displaystyle{ (I_{k})_{k \in \NN}}\), gdzie \(\displaystyle{ I_{k}= \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \sin^{k} x dx}\)

Swoją droga, to ja nie wiem, co ja tu piszę, to może być zupełnie nietrafne, przecież w końcu nie podałeś treści zadania.
"Mam całkę" - i co, masz ją policzyć w zal. od \(\displaystyle{ n}\), czy tylko napisać wzór rekurencyjny?

[mat9876]

zadanie brzmi " obliczyć całki" i jest min. ta całka z adnotacja n=0,2,2,3..........