Rozwinięcie w szereg Taylora

[davids12]

Witam. W zadaniu jest aby podane wyrażenie

\(\displaystyle{ \frac{ x^{5} }{ x^{3}+ x^{2} + x + 1 }}\)

Przedstawić za pomocą odpowiedniego szeregu potęgowego i na tej podstawie obliczyć
\(\displaystyle{ f^{(9)}(0) f^{10}(0)}\)

Rozlozyc na ulamki proste i dalej leciec ze wzoru na szereg taylora?

[Medea 2]

Wskazówka: twoja funkcja to

\(\displaystyle{ \frac{x^5 (x^4-1)}{x-1}.}\)

[Kaf]

Raczej \(\displaystyle{ \frac{x^5 (x-1)}{x^4-1}}\).

[davids12]

Okej, i później w jaki sposób policzyć te pochodne, bawić sie w rozwijanie tego szeregu aż to dziewiątego wyrazu?

[Kaf]

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x^4}= \sum_{n=0 }^{\infty} x^{4n}}\) (szereg geometryczny). Teraz wystarczy ten szereg pomnożyć przez \(\displaystyle{ -x^5(x-1)}\).

[davids12]

czyli rozumiem , że policzę dziewiata pochodna tego szeregu geometrycznego i wystarczy go pomnozyc przez ten człon aby uzyskac wartosc tej pochodnej?

[a4karo]

No chyba najpierw musisz pomnożyć, a potem liczyc pochodną

[Kaf]

Nie. Po co liczyć pochodną szeregu geometrycznego? Rozwinęliśmy funkcję \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x^4}}\), a więc potrafimy też rozwinąć prosto (prosto znaczy tutaj bez liczenia pochodnych) \(\displaystyle{ -x^5(x-1) \cdot \frac{1}{1-x^4}= \frac{x^5(x-1)}{x^4-1} = \frac{ x^{5} }{ x^{3}+ x^{2} + x + 1 }}\). Jak wyznaczysz rozwinięcie tego ostatniego szeregu (po prostu mnożąc), to łatwo odczytasz szukane wartości pochodnych.