Sześciany i dowodzenie

[Rafal411]

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc}\), to \(\displaystyle{ a=b=c}\). Doszedłem do postaci \(\displaystyle{ a(a^{2}-bc)+b(b^{2}-ac)+c(c^{2}-ab)=0}\) i nie wiem, co mam zrobić dalej.

[Poszukujaca]

Może spróbuj skorzystać z podzielności lewej strony przez trzy.

[Michalinho]

Chyba zapomniałeś o założeniu nieujemności liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\).
\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)}\)

[Rafal411]

Mógłbyś napisać, jak doszedłeś do tego zapisu? Byłbym Ci bardzo wdzięczny!

[Michalinho]

Jest to dosyć znana tożsamość. Podam ci dwa sposoby:
\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+b^3+c^3+(ab^2+ac^2)+(ba^2+bc^2)+(ca^2+cb^2)-(ab^2+ac^2)-(ba^2+bc^2)-(ca^2+cb^2)-3abc=(a^3+ab^2+ac^2)+(b^3+ba^2+bc^2)+(c^3+ca^2+cb^2)-(ab^2+ba^2+abc)-(ac^2+ca^2+abc)-(bc^2+cb^2+abc)=a(a^2+b^2+c^2)+b(b^2+a^2+c^2)+c(c^2+a^2+b^2)-ab(a+b+c)-ac(c+a+b)-bc(c+b+a)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)(ab+ac+bc)=\frac{1}{2}(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)=\frac{1}{2}(a+b+c)((a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2))=\frac{1}{2}(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)}\)

Drugi sposób:
Rozważmy wielomian unormowany 3-go stopnia o pierwiastkach \(\displaystyle{ a,b,c}\). Ze wzorów Viete'a wiemy, że ma on postać:
\(\displaystyle{ W(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc}\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ W(a)=W(b)=W(c)=0 \Rightarrow W(a)+W(b)+W(c)=0}\). A więc obliczmy:
\(\displaystyle{ (a^3-(a+b+c)a^2+(ab+bc+ca)a-abc)+(b^3-(a+b+c)b^2+(ab+bc+ca)b-abc)+(c^3-(a+b+c)c^2+(ab+bc+ca)c-abc)=0 \Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)(a+b+c)\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)}\)

-- 26 mar 2015, o 14:37 --

A tutaj trzeci:
\(\displaystyle{ (a+b+c)^3=(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)(a+b+c)=a^3+a^2(b+c)+b^3+b^2(a+c)+c^3+c^2(a+b)+(a+b+c)(2ab+2bc+2ca)\Rightarrow \\ a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-(a+b+c)(2ab+2bc+2ac)-(a^2b+ab^2+ac^2+ca^2+bc^2+cb^2)}\)
Odejmujemy od obu stron \(\displaystyle{ 3abc}\):
\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)((a+b+c)^2-2ab-2bc-2ac)-(ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ca(a+b+c))}\)
\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=\frac{1}{2}(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)}\)

[Rafal411]

Wielkie dzięki! Myślałem nad tym zadaniem pół dnia...

[Michalinho]

Nie ma sprawy. Nic dziwnego, że siedziałeś nad nim długo. Jego poziom mocno wykracza poza ramy gimnazjum. Myślę, że większość maturzystów na poziomie rozszerzonym by tego nie zrobiła

[SGN]

Możesz też użyć wzorów skróconego mnożenia - suma sześcianów:

\(\displaystyle{ a ^{3}+b ^{3}+c ^{3}-3abc=0}\)
\(\displaystyle{ (a+b)(a ^{2}-ab+b ^{2})+c(c ^{2}-3ab)=0}\)
Teraz:

\(\displaystyle{ (a+b=0 \vee a ^{2}-ab+b ^{2}=0)}\) \(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ (c=0 \vee c ^{2}-3ab=0)}\)

Tak postępując c będzie musiało być równe \(\displaystyle{ 0}\), a idąc dalej - również b i a będą równe \(\displaystyle{ 0}\). Z resztą sprawdź sam mój sposób

[Michalinho]

SGN twój sposób jest zły. Wcale nie musi zachodzić:
\(\displaystyle{ (a+b=0 \vee a ^{2}-ab+b ^{2}=0) \wedge (c=0 \vee c ^{2}-3ab=0)}\)
aby równość była spełniona.
Przykład: \(\displaystyle{ a=b=c=2}\)

[Lafoniz]

Ja natomiast chciałbym zaproponować skromny dowód nie wprost.

Skoro mamy pokazać, że \(\displaystyle{ (a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc) \Rightarrow a = b = c}\) przy czym \(\displaystyle{ a,b,c > 0}\) to wystarczy, że założymy zaprzeczenie tezy i pokażemy, że prowadzi to do sprzeczności (wówczas na podstawie pewnej tautologii widzimy, że teza jest prawdziwa).

W takim razie niech \(\displaystyle{ a \neq b \neq c}\), korzystając teraz z założenia \(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc}\) otrzymujemy po kolei:

\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{bc} + \frac{b^{2}}{ac} + \frac{c^{2}}{ab} = 3}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{bc} + \frac{b^{2}}{ac} + \frac{c^{2}}{ab} - 3 = 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^{2} - bc}{bc} + \frac{b^{2} - ac}{ac} + \frac{c^{2} - ab}{ab} = 0}\)

Widzimy więc, że wyrażenie będzie spełnione jeżeli licznik każdego ułamka będzie równy zero, pójdźmy tym tropem wybierając np. pierwszy ułamek.

\(\displaystyle{ a^{2} - bc = 0}\)
\(\displaystyle{ a^{2} = bc}\)

Z drugiej strony jednak widzimy z założenia, że:

\(\displaystyle{ a \neq b}\) i \(\displaystyle{ a \neq c}\)
czyli:
\(\displaystyle{ a^{2} \neq bc}\)

Widzimy, że jest źle, albowiem otrzymaliśmy nastepujące zależności, które nie mogą razem współistnieć:
\(\displaystyle{ a^{2} = bc}\) i \(\displaystyle{ a^{2} \neq bc}\)
czyli udało się nam udowodnić, że teza jest prawdziwa.

[Kaf]

Lafoniz, niestety Twoje rozumowanie jest niepoprawne, chociażby dlatego, że z \(\displaystyle{ a \neq b}\) i \(\displaystyle{ a \neq c}\) wcale nie wynika, że \(\displaystyle{ a^2 \neq bc}\) (kontrprzykład: \(\displaystyle{ a=1, b=\frac{1}{2}, c=2}\)).

[Lafoniz]

Faktycznie, bardzo celny kontrprzykład, spróbuję to jeszcze jakoś uratować, chociaż wydaję mi się, że czeka mnie generalny remont.

[SGN]

Okej, zgadzam się Michalinho. Nie wiem, jak mogłam się tak pomylić, umieram ze wstydu..

[a4karo]

Faktycznie, bardzo celny kontrprzykład, spróbuję to jeszcze jakoś uratować, chociaż wydaję mi się, że czeka mnie generalny remont.

Nie uratujesz: z fakty, że suma trzech liczb jest równa zero nie wynika, że wszystkie one sa zerami

[SGN]

Nie uratujesz: z fakty, że suma trzech liczb jest równa zero nie wynika, że wszystkie one sa zerami

np. \(\displaystyle{ 7-7=0}\)