Nierówność dla liczb rzeczywistych

[wielkireturner]

Dzień dobry. Proszę o pomoc w rozwiązaniu nierówności

\(\displaystyle{ \frac{1}{a(1+b)} + \frac{1}{b(1+c)} + \frac{1}{c(1+a)} \ge \frac{3}{1+abc}}\)-- 26 mar 2015, o 16:02 --Czytaj: udowodnieniu.

[SGN]

Podaj konieczne założenia i sprowadź lewą stronę do wspólnego mianownika, coś już będziesz miał. Na razie prawą zostaw, bo nie wiadomo, jakimi liczbami są niewiadome, a mogłoby to wpłynąć na zmianę 'kierunku' nierówności (w tym momencie nie wiem, jak inaczej to nazwać )

Udowodnienie - to zmienia postać rzeczy

-- 26 mar 2015, o 16:12 --

W takich zadaniach bardzo często przydają się zależności między średnimi, może spróbuj w taki sposób.. to jedna z nich:

śr. kwadratowa \(\displaystyle{ \ge}\) śr. arytmetyczna \(\displaystyle{ \ge}\) śr. geometryczna \(\displaystyle{ \ge}\) śr. harmoniczna

[Premislav]

Umie ktoś to udowodnić? Próbowałem z Jensena, lecz pokonały mnie braki w genach. Bo z matmy jestem drewno i trudno mi dobrać funkcję odpowiednią.

[Vax]

Tak, mamy równoważnie:

\(\displaystyle{ \sum \frac{1+abc}{a(1+b)} \ge 3 /+3 \\ \\ \iff \\ \\ \sum \left(\frac{1+a+ab+abc}{a(1+b)}\right) \ge 6 \\ \\ \iff \\ \\ \sum \left(\frac{1+a}{a(1+b)} + \frac{b(1+c)}{1+b}\right) \ge 6}\)

Co wynika z am-gm. (nierówność działa dla dodatnich, łatwo podać kontrprzykład dla ujemnych).

[Elayne]

Z Cauchy-Schwarza mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a(1+b)} + \frac{1}{b(1+c)} + \frac{1}{c(1+a)} \ge \frac{9}{a(1+b)+b(1+c)+c(1+a)}\\
\frac{1}{a(1+b)} + \frac{1}{b(1+c)} + \frac{1}{c(1+a)} \ge \frac{9}{a+b+c+ab+bc+ca}}\)

wystarczy udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \frac{9}{a+b+c+ab+bc+ca} \ge \frac{3}{1+abc}}\) a to jest równoważne:

\(\displaystyle{ 3abc+3 \ge a+b+c+ab+bc+ca}\)


\(\displaystyle{ \sum{\frac{1}{a(1+b)}}-\frac{3}{1+abc}=\sum{\frac{(1-ab)^2}{a(1+a)(1+b)(1+abc)}}\ge{0}}\)

-- 31 mar 2015, o 08:32 --

Niech \(\displaystyle{ a,b,c>0}\)

\(\displaystyle{ \frac{(1+a)+ab(1+c)}{a(1+b)} + \frac{(1+b)+bc(1+a)}{b(1+c)} + \frac{(1+c)+ca(1+b)}{c(1+a)} \ge 6 \\
\\
\iff \frac{1+abc}{a(1+b)} +1+ \frac{1+abc}{b(1+c)} +1+ \frac{1+abc}{c(1+a)} +1 \ge 6 \\
\\
\iff \frac{1+abc}{a(1+b)} + \frac{1+abc}{b(1+c)} + \frac{1+abc}{c(1+a)} \ge 3\\
\\
\iff \frac{1}{a(1+b)}+ \frac{1}{b(1+c)}+ \frac{1}{c(1+a)} \ge \frac{3}{1+abc}}\)