Suma i obszar zbieżności szeregu.

[Pablo201_5]

Witam,
Mam problem z zadaniem, treść jak w temacie:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^{4n-3}}{4n-3}}\)

Policzyłem promień zbieżności r=1, obszar zbieżności to (-1,1), jednak nie mogę ruszyć sumy tego szeregu.

Próbowałem policzyć pochodną i otrzymałem \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } x^{4n-4}}\) i tutaj się zaciąłem. Prosiłbym o jakieś rady, sugestie etc.

Paweł

[a4karo]

To, co dostałęś to szereg geometryczny

[chris_f]

Masz teraz sumę wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie
\(\displaystyle{ a_1=x^{-4}}\)
i ilorazie
\(\displaystyle{ q=\frac{x^0}{x^{-4}}=x^4}\)
Suma wyrazów będzie wynosić
\(\displaystyle{ S=\frac{x^{-4}}{1-x^4}=\frac{1}{(1-x^4)x^4}}\)
Teraz pozostaje jedynie scałkować.

[Pablo201_5]

Witam,
scałkowałem sumę wyrazów i dostałem

\(\displaystyle{ \frac{1}{12}( -\frac{4}{x^3}-3\ln (1-x) +3\ln (1+x) -6\arctan x)}\)

a odpowiedź podaje:

\(\displaystyle{ \frac{-1}{4}\ln (1-x^2) + \frac{1}{12} \ln (1+x^2) +\arctan x}\)

Czy pomyliłem się przy całkowaniu, powinienem scałkować inną funkcję czy może odpowiedź podaje zły wynik?

[a4karo]

Sprawdź sobie na wolframalpha.com

[Pablo201_5]

Sprawdziłem, całka z tej funkcji którą podał @chris_s jest równa tyle co podałem, a co do sumy to podaje niezrozumiały dla mnie wynik:

11 marca 2015, o 20:37 --Poza tym skąd wziął się ten wzór na sume szeregu \(\displaystyle{ x^{4n-4}}\) skoro wzór na sume szeregu geometrycznego to \(\displaystyle{ a_n\frac{1-q^n}{1-q}}\) a nie nie wiemy ile to \(\displaystyle{ q^{4n}}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} x^{4n-4}=x^{-4}\sum_{n=0}^{\infty} (x^4)^{n}}\). Teraz OK?

[Pablo201_5]

OK tylko ciągle nie mogę dojść do wyniku z odpowiedzi .