Zbadaj zbieżność całki nieoznaczonej od parametrów.

[Magda6686]

Takie pytanko: jak to zrobić i jaka jest odpowiedź do tego:
Zrobiłam dużo przykładów na konkretnych danych i sprawdzałam w wolframie ale dla ogólnych parametrów już nie jest tak łatwo.

Zbadaj zbieżnosć całki niewłaściwej w zaleźności od prametrów p,q \(\displaystyle{ \in R}\) :
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{+ \infty } \frac{dx}{x^{p}+x^{q}}}\)

Rozpisuje to z definicji całki nieoznaczonej ale jak pokazywać zbieżność/rozbieżność?

[luka52]

Zbadaj asymptotykę funkcji podcałkowej dla \(\displaystyle{ x \to 0}\) i \(\displaystyle{ x \to +\infty}\).

W otoczeniu zera, funkcja podcałkowa będzie się zachowywać jak \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{\min (p, q)}}}\), zaś dla \(\displaystyle{ x \to +\infty}\) jak \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{\max(p, q)}}}\).

Stąd, aby całka była zbieżna muszą być spełnione następujące warunki:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \min (p, q) < 1 \\ \max (p, q) > 1 \end{cases}}\)

PS. to jest całka oznaczona.