Dziedzina i zbiór wartości logarytmu.

[isio05]

Cześć,

Zastanawia mnie takie zadanie:
Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\log _{ \frac{1}{3} }(-x ^{2} + 12x - 27)}\)
Dziedziną są argumenty dla których \(\displaystyle{ f(x)>0}\), czyli \(\displaystyle{ \left\langle3; 9\right\rangle}\)
Wartość najmniejszą logarytm osiąga, gdy wartość liczby logarytmowanej jest największa czyli \(\displaystyle{ y=9}\) dla \(\displaystyle{ x _{w}=6}\), ale jak policzyć wartość największą logarytmu?

[mortan517]

Dziedziną są argumenty dla których \(\displaystyle{ f(x)>0}\)

Totalna bzdura

[szachimat]

Dziedziną są argumenty dla których środek logarytmu jest większy od zera (a nie \(\displaystyle{ f(x)>0)}\)

Wartość najmniejszą logarytm osiąga, gdy wartość liczby logarytmowanej jest największa czyli środek logarytmu musi być równy \(\displaystyle{ 9}\).

Jeżeli środek logarytmu przybliża się do zera, to wartość logarytmu rośnie do nieskończoności, a zatem zbiór wartości jest przedziałem \(\displaystyle{ \langle ?;+ \infty )}\) (wyznacz poprawnie początek przedziału)

[isio05]

Pisząc \(\displaystyle{ f(x)}\), miałem na myśli funkcje kwadratową, która jest wstawiona w środek logarytmu i nie zauważyłem, że tak oznaczony jest już cały logarytm.

Jeżeli środek logarytmu przybliża się do zera, to wartość logarytmu rośnie do nieskończoności, a zatem zbiór wartości jest przedziałem \(\displaystyle{ <?;+ \infty )}\) (wyznacz poprawnie początek przedziału)

Wydaje się to logiczne, ale w jaki sposób to wykazać?

[szachimat]

Najprościej byłoby zrobić podstawienie: \(\displaystyle{ t=-x ^{2} + 12x - 27}\) i narysować wykres funkcji \(\displaystyle{ f(t)=\log _{ \frac{1}{3} }t}\) po zmiennej \(\displaystyle{ t}\) w przedziale \(\displaystyle{ (0;9\rangle}\). Czyli będzie to część podstawowej funkcji logarytmicznej o naszej podstawie (zapominamy na razie o podstawieniu) okrojonej w podanym przedziale. Wówczas zbiory wartości będą takie same (może ciężko to zrozumieć, ale zaufaj mi - tak jest).

[a4karo]

Ludzie, terminologia !!! Środek logarytmu to ARY.

[szachimat]

a4karo, daj spokój, chodzi o to aby druga osoba zrozumiała. Czy sensowniej byłoby użyć precyzyjnego języka matematycznego i napisać "Dziedziną są argumenty dla których argument logarytmu jest większy od zera". (Nie odpisuj, ewentualnie wtrącając się do dyskusji napisz jak byś sprecyzowałbyś to jaśniej tak aby druga osoba zrozumiała - bo ja jak widzę takie posty zniechęcam się do dalszej pomocy)

[leszczu450]

Co to jest środek logarytmu szachimat ? Bo ja z takim pojęciem nigdy się nie spotkałem.

[isio05]

Najprościej byłoby zrobić podstawienie: \(\displaystyle{ t=-x ^{2} + 12x - 27}\) i narysować wykres funkcji \(\displaystyle{ f(t)=\log _{ \frac{1}{3} }t}\) po zmiennej t w przedziale \(\displaystyle{ (0;9\rangle}\). Czyli będzie to część podstawowej funkcji logarytmicznej o naszej podstawie (zapominamy na razie o podstawieniu) okrojonej w podanym przedziale. Wówczas zbiory wartości będą takie same (może ciężko to zrozumieć, ale zaufaj mi - tak jest).

Po podstawieniu faktycznie widać, że logarytm w swojej dziedzinie, którą stanowią wartości funkcji kwadratowej dąży do nieskończoności.
Dzięki za pomoc.

[Jan Kraszewski]

Czy sensowniej byłoby użyć precyzyjnego języka matematycznego i napisać "Dziedziną są argumenty dla których argument logarytmu jest większy od zera".

Nie, bo to nieprawda, dziedzina to zbiór.

Jeżeli środek logarytmu przybliża się do zera,

Jeżeli argument logarytmu...

JK

[Dilectus]

Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\log _{ \frac{1}{3} }(-x ^{2} + 12x - 27)}\)

1. Dziedzina

Logarytm jest zdefiniowany dla liczb rzeczywistych dodatnich, a więc to, na co działa musi być nieujemne. Zatem

\(\displaystyle{ -x ^{2} + 12x - 27>0}\)

\(\displaystyle{ x \in \left( 3, \ 9 \right)}\)

Czyli dziedziną funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) jest przedział \(\displaystyle{ \left( 3, \ 9 \right)}\)

2. Zbiór wartości

Logarytm o podstawie mniejszej od jeden jest funkcją malejącą, a więc najmniejszą wartość osiąga w maksimum tej funkcji kwadratowej, która jest argumentem logarytmu. Maksimum tego trójmianu jest równe \(\displaystyle{ 9}\), zatem najmniejszą wartością funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) będzie

\(\displaystyle{ \log _{ \frac{1}{3} }9=-2}\)

Policzmy jeszcze granice na krańcach przedziału określoności funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 3^+}\log _{ \frac{1}{3} }(-x ^{2} + 12x - 27)= \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 9^-}\log _{ \frac{1}{3} }(-x ^{2} + 12x - 27)= \infty}\)

A więc

\(\displaystyle{ f(x) \in \left( -2, \ \infty \right)}\)

[isio05]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 3^+}\log _{ \frac{1}{3} }(-x ^{2} + 12x - 27)= \infty

\lim_{x\to 9^-}\log _{ \frac{1}{3} }(-x ^{2} + 12x - 27)= \infty}\)

Zastanawia mnie ten zapis. Czy mógłbyś pokazać jak otrzymać to, że logarytm ma granicę w \(\displaystyle{ \infty}\)? Czy po prostu stwierdzamy, że skoro liczba logarytmowana dąży do zera to też cały cały logarytm dąży do \(\displaystyle{ \mp \infty}\) (zależnie od jego podstawy)?

[a4karo]

Czy po prostu stwierdzamy, że skoro liczba logarytmowana dąży do zera to też cały cały logarytm dąży do mp infty (zależnie od jego podstawy)?

A nie jest tak? Właśne z tego faktu się tu korzysta.

[isio05]

Czy po prostu stwierdzamy, że skoro liczba logarytmowana dąży do zera to też cały cały logarytm dąży do mp infty (zależnie od jego podstawy)?

A nie jest tak? Właśne z tego faktu się tu korzysta.

Ok, chyba nie potrzebnie rozwodzę się nad czymś co jest oczywiste.

Dzięki za odpowiedź.

[Dilectus]

Zastanawia mnie ten zapis. Czy mógłbyś pokazać jak otrzymać to, że logarytm ma granicę w \(\displaystyle{ \infty}\)? Czy po prostu stwierdzamy, że skoro liczba logarytmowana dąży do zera to też cały cały logarytm dąży do \(\displaystyle{ \mp \infty}\) (zależnie od jego podstawy)?

Zobacz, do czego dąży argument logarytmu, gdy iks dąży do 3.