największa wartość wyrażenia

[Krzychu12321]

Wiadomo, że \(\displaystyle{ x, y, z}\) są liczbami rzeczywistymi z przedziału \(\displaystyle{ [0,3]}\) oraz \(\displaystyle{ -5x+4y+10z=0}\). Jaka jest największa możliwa wartość wyrażenia \(\displaystyle{ x+y+z}\)?

[octahedron]

\(\displaystyle{ x=\frac{4}{5}y+2z\\
x+y+z=\frac{9}{5}y+3z\Rightarrow max=\frac{9}{5}\cdot 3+3\cdot 3=\frac{62}{5}}\)

[Krzychu12321]

Tylko że wtedy \(\displaystyle{ x}\) nie należy do zadanego przedziału.

[octahedron]

A rzeczywiście . Nie zauważyłem...

[AndrzejK]

Z nierówności między średnią arytmetyczną, a kwadratową mamy, że:
\(\displaystyle{ \frac{9}{5}y+3z \le \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{81}{25}y^2+9z^2} \ (1)}\)
Przy czym równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ \frac{9}{5}y=3z \Leftrightarrow z=\frac{9}{15}y \ (2)}\).

Zatem z \(\displaystyle{ (1)}\) oraz \(\displaystyle{ (2)}\) największą wartością wyrażenia jest \(\displaystyle{ 3,6y}\).

Co więcej, skoro \(\displaystyle{ z \le 3}\), to \(\displaystyle{ y \le 5}\) oraz \(\displaystyle{ x \le 3 \Leftrightarrow y \le \frac{3}{2}}\). Zatem maksymalnie duże \(\displaystyle{ y}\) spełniające oba te warunki to \(\displaystyle{ y=\frac{3}{2}}\). Wtedy \(\displaystyle{ z=\frac{9}{10}, x=3}\), a szukana największa wartość to \(\displaystyle{ 5,4}\).

Dobrze by było, żeby ktoś zerknął, czy ok.

[Seth Briars]

\(\displaystyle{ x+y+z=\frac{3x}{2}+\frac{3y}{5} \le \frac{63}{10}, x=y=3,z=\frac{3}{10}}\)

[Michalinho]

AndrzejK twoje rozwiązanie jest złe:

Z nierówności między średnią arytmetyczną, a kwadratową mamy, że:
\(\displaystyle{ \frac{9}{5}y+3z \le \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{81}{25}y^2+9z^2} \ (1)}\)
Przy czym równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ \frac{9}{5}y=3z \Leftrightarrow z=\frac{9}{15}y \ (2)}\).

To, że jest równość to nie znaczy, że jest największe.-- 24 lut 2015, o 13:37 --Jeśli chodzi o to:
\(\displaystyle{ x+y+z=\frac{3x}{2}+\frac{3y}{5} \le \frac{63}{10}, x=y=3,z=\frac{3}{10}}\)
to można udowodnić, że to największa wartość zmieniając jedną parę z \(\displaystyle{ x, y, z}\) na inną z zachowaniem warunku \(\displaystyle{ -5x+4y+10z=0}\). Okaże się, że wystarczy doprowadzić do \(\displaystyle{ x=y=3}\).

[octahedron]

Mamy \(\displaystyle{ 5x=4y+10z}\). Jeśli \(\displaystyle{ y<3}\) i \(\displaystyle{ z>0}\), to możemy dobrać takie \(\displaystyle{ y'>y,\,z'<z}\), że nadal \(\displaystyle{ 5x=4y'+10z'}\). Wtedy \(\displaystyle{ z'-z=-\frac{2}{5}(y'-y)}\), stąd \(\displaystyle{ x+y'+z'-(x+y+z)=\frac{3}{5}(y'-y)>0}\). Maksimum musi więc występować dla \(\displaystyle{ z=0}\) lub \(\displaystyle{ y=3}\). W pierwszym przypadku wynosi ono \(\displaystyle{ 5.4}\) dla \(\displaystyle{ x=2.4,\,y=3}\), w drugim \(\displaystyle{ 6.3}\) dla \(\displaystyle{ x=y=3,\,z=0.3}\)

[Vether]

Z treści zadania wiemy, że \(\displaystyle{ z= \frac{1}{2} x - \frac{2}{5} y}\). Wobec faktu \(\displaystyle{ z \ge 0}\) otrzymujemy założenie \(\displaystyle{ (*)}\) \(\displaystyle{ x \ge \frac{4}{5} y}\). Zauważamy, że dla dowolnych wartości \(\displaystyle{ x,y}\) spełniony jest warunek \(\displaystyle{ 3 \ge z}\), bowiem \(\displaystyle{ 3 \ge x \ge \frac{1}{2}x \ge \frac{1}{2}x - \frac{2}{5}y =z}\).

Ukryta treść:    

Możemy zapisać \(\displaystyle{ 3>z}\), bowiem pierwsza nierówność zachodzi jedynie dla \(\displaystyle{ x=3}\), zaś druga dla \(\displaystyle{ x=0}\), jednak \(\displaystyle{ 3 \ge z}\) również czyni zadość założeniom treści zadania.

Dostajemy:
\(\displaystyle{ x+y+z = \frac{3}{2} x + \frac{3}{5} y}\), co oczywiście przyjmuje największą wartość dla \(\displaystyle{ x=y=3}\). Sprawdzamy, czy założenie \(\displaystyle{ (*)}\) jest spełnione - istotnie tak jest, dlatego największą możliwą wartością tego wyrażenia jest \(\displaystyle{ \frac{63}{10}}\).