Energia całkowita układu dwóch gwiazd

[Nieprzekonany]

Witam. Mam problem z zadaniem z fizyki. Mam dany układ dwóch gwiazd, które krążą wokół środka masy. Pierwsza gwiazda ma masę \(\displaystyle{ m}\) a druga \(\displaystyle{ 2m}\). Promień orbity, a więc także odległość od środka masy pierwszej gwiazdy wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}r}\) , a promień orbity drugiej gwiazdy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}r}\) (co można zresztą wywnioskować z danych mas). Mamy jeszcze dany okres obiegu obu gwiazd \(\displaystyle{ T}\) (równa dla obu gwiazd ponieważ jest to konkretnie tzw. "gwiazda podwójna"). Jak policzyć energię całkowitą układu? Wiem, że jest to suma energii kinetycznych i potencjalnych. Z obliczeniem energii kinetycznymi nie miałem problemów. Problem mam z ustaleniem jak poprawnie obliczyć energie potencjalne tych gwiazd. Proszę o pomoc.

[sailormoon88]

Wystarczy, że skorzystasz ze wzoru
\(\displaystyle{ E_p=-\frac{Gm_1m_2}{d}}\)
Gdzie d to odległość między środkami gwiazd.

[Nieprzekonany]

@UP Dzięki. Tak też mówił mój nauczyciel, jednak nie pisałem tego żeby nic nie sugerować. Mógłby ktoś wytłumaczyć co to za wzór, skąd się bierze i w jaki sposób się go wyprowadza? Bo rozumiem, że to nie jest coś związanego ze wzorem na energię potencjalną który używamy przy zadaniach gdzie mamy układ ciał z których jedno jest znacznie mniej masywne od drugiego np. satelita - Ziemia, rakieta - Ziemia.
\(\displaystyle{ E _{p} = - \frac{Gm _{1}m _{2} }{r}}\) który jest wyprowadzany poprzez obliczenie pracy potrzebnej do przeniesienia ciała z \(\displaystyle{ \infty}\) do \(\displaystyle{ r}\). Tutaj mamy chyba inny przypadek. Jest ktoś w stanie wytłumaczyć? :/

[AiDi]

Bo rozumiem, że to nie jest coś związanego ze wzorem na energię potencjalną który używamy przy zadaniach gdzie mamy układ ciał z których jedno jest znacznie mniej masywne od drugiego

Siła grawitacji jest jedna, więc i energia potencjalna z nią związana jest jedna. Zatem nie ma wzorów na różne przypadki i jeśli ktoś Ci powiedział, że ten wzór to jest do tych konkretnych przypadków to kłamał, albo sam ma braki w wiedzy

Tutaj mamy chyba inny przypadek. Jest ktoś w stanie wytłumaczyć? :/

Przypadek mamy ten sam: energia potencjalna w danej konfiguracji jest to praca potrzebna by utworzyć układ w danej konfiguracji. Konfiguracja się zmienia to i energia się zmienia, zgodnie ze wzorem który napisałeś.

Mógłby ktoś wytłumaczyć co to za wzór, skąd się bierze i w jaki sposób się go wyprowadza?

Siła grawitacji jest siłą potencjalną, czyli jej praca nie zależy od drogi, więc korzystając z matematyki pól wektorowych możemy wprowadzić skalar, który się nazywa energią potencjalną związaną z tą siłą. Tyle.

[Nieprzekonany]

Tutaj mamy chyba inny przypadek. Jest ktoś w stanie wytłumaczyć? :/

Przypadek mamy ten sam: energia potencjalna w danej konfiguracji jest to praca potrzebna by utworzyć układ w danej konfiguracji. Konfiguracja się zmienia to i energia się zmienia, zgodnie ze wzorem który napisałeś.

A więc jak policzyć tę pracę? Gdy wyprowadzamy wzór dla stałego pola grawitacyjnego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ E _{p} = - \frac{Gm _{1}m _{2} }{r}}\)
Jednak tutaj pole grawitacyjne się zmienia, bo wraz z przenoszeniem gwiazdy z \(\displaystyle{ \infty}\) do pewnego położenia przemieszcza się także środek masy - centrum pola grawitacyjnego więc nie możemy uśrednić siły tak jak przy wyprowadzaniu powyższego. No chyba że będziemy przenosić obie gwiazdy z \(\displaystyle{ \infty}\) do pewnego położenia jednocześnie tak, aby środek masy był ciągle w stałym miejscu.

[AiDi]

A więc jak policzyć tę pracę?

Z definicji, jest to odpowiednia całka.

Gdy wyprowadzamy wzór dla stałego pola grawitacyjnego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ E _{p} = - \frac{Gm _{1}m _{2} }{r}}\)

Dlaczego twierdzisz, że to dla stałego pola grawitacyjnego? Jak się nad tym pytaniem zastanowisz, to wszystko powinno być już jasne. Powtórzę, postać energii potencjalnej jest jedna dla danej siły, niezależnie od całej reszty.

[Nieprzekonany]

A więc jak policzyć tę pracę?

Z definicji, jest to odpowiednia całka.

Okej dzięki. Widocznie mam braki w mojej wiedzy. Mogę poprosić tę definicję?

[AiDi]

\(\displaystyle{ \Delta E_p=-\int_L\vec{F}d\vec{r}}\), gdzie \(\displaystyle{ L}\) to krzywa łącząca położenie początkowe i końcowe, a \(\displaystyle{ \vec{F}}\) jest siłą, której energię potencjalną wyznaczamy.

[Nieprzekonany]

Przy liczeniu tej energii całkowitej mam dwa razy dodać te \(\displaystyle{ - \frac{G m_{1}m _{2} }{r}}\) czy tylko raz i dlaczego?

[AiDi]

Tylko raz, dlatego, że energia potencjalna to energia układu oddziałującego siłą potencjalną. Nie można po prostu powiedzieć, że np. człowiek ma energię potencjalną. Układ człowiek-Ziemia ma energię potencjalną. Choć w ramach skrótów myślowych mówi się "energia potencjalna człowieka", ale trzeba mieć zawsze świadomość, że chodzi o cały układ, a nie tylko człowieka. Co innego energia kinetyczna, ta może odnosić się do pojedynczego nieoddziałującego ciała.

[Nieprzekonany]

Już rozumiem. A gdybym miał zadanie z trzema gwiazdami? Jak wtedy postępować licząc energię potencjalną układu?

[AiDi]

To suma trzech energii dla każdej pary gwiazd.