Długość promienia podstawy

[ecik1973]

Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi \(\displaystyle{ 90 \pi cm ^{2}}\) , a jego wysokość to 12 cm. oblicz długość promienia podstawy.
Niebardzo wiem jak zacząć

[buttonik]

\(\displaystyle{ P_c=\pi r^2+\pi rl\\l=\sqrt{H^2+r^2}}\)
Wysokość mamy, pole mamy, a promień szukamy

[ecik1973]

to ma być układ równań i to l podstawić do pierwszego
\(\displaystyle{ 90 \pi = \pi R ^{2}+ \pi R \cdot \sqrt{12 ^{2} \cdot R ^{2} }}\)
takie coś powinienem wyliczyć bo niewiem za bardzo jak

[buttonik]

Można i tak, ale... no można szybciej.
Wyznaczamy l:
\(\displaystyle{ r^2+rl=90\\l=\frac{90-r^2}{r}}\)
I mamy równanie:
\(\displaystyle{ \frac{90-r^2}{r}=\sqrt{144+r^2}}\)
Podnosimy do kwadratu, usuwamy co się da i wyjdzie

[ecik1973]

\(\displaystyle{ \frac{90-r ^{2} }{r} = \sqrt{144+r ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ 90-r=12+r}\)
\(\displaystyle{ 90-12=r+r}\)
\(\displaystyle{ 78=2r/:2}\)
\(\displaystyle{ 39=r}\)

tak mi wyszło ale chyba coś nie tak bo jeśli H=12 to nie bardzo r może być 39

drogą dedukcji doszłem że r=5 ale jak to z tego wyliczyć to jeszcze niewiem

[buttonik]

\(\displaystyle{ \frac{90-r ^{2} }{r} = \sqrt{144+r ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ 90-r=12+r}\)
\(\displaystyle{ 90-12=r+r}\)
\(\displaystyle{ 78=2r/:2}\)
\(\displaystyle{ 39=r}\)

tak mi wyszło ale chyba coś nie tak bo jeśli H=12 to nie bardzo r może być 39

drogą dedukcji doszłem że r=5 ale jak to z tego wyliczyć to jeszcze niewiem

\(\displaystyle{ \frac{90-r ^{2} }{r} = \sqrt{144+r ^{2} } \hspace{0.5cm}\backslash ()^2\\
\frac{8100-180r^2+r^4}{r^2}=144+r^2 \hspace{0.5cm} \backslash \cdot r^2\\
8100-180r^2+r^4=144r^2+r^4\\
8100=324r^2\\
r^2=25\\
r=5 \vee r=-5}\)
Ostatecznie: \(\displaystyle{ r=5}\)

[ecik1973]

mam pytanie odnośnie podnoszenia obustronnie do kwadratu miało na celu pozbycie się pierwiastka?

[piasek101]

tak