Rozkład na ułamki proste

[goku94]

\(\displaystyle{ \frac{1}{\left( x^{2} + 1 \right) ^{2} }}\)

Na razie udało mi się tylko dojść do tego, jak to ma wyglądać, ale układ równań ze współczynnikami okazał się sprzeczny.

\(\displaystyle{ \frac{Ax+B}{ x^{2}+1 } + \frac{Cx+D}{\left( x^{2} + 1 \right) ^{2} }}\)

[Guzzi]

W drugim ułamku jest błąd - nawias w mianowniku jest podniesiony do kwadratu. Powinno być:

\(\displaystyle{ \frac{Ax+B}{ x^{2}+1 } + \frac{Cx+D}{x^{2} + 1}}\)

[goku94]

Nie sądzę, w takim wypadku też jest sprzeczny układ.

[ZF+GCH]

W drugim ułamku jest błąd - nawias w mianowniku jest podniesiony do kwadratu. Powinno być:

\(\displaystyle{ \frac{Ax+B}{ x^{2}+1 } + \frac{Cx+D}{x^{2} + 1}}\)

Nieprawda, rozkład autora postu jest prawidłowy. Lecz nieprzydatny, bo do niczego nie doprowadzi. Tego już się lepiej nie rozłoży. Po prawidłowym rozwiązaniu układu równań współczynniki \(\displaystyle{ A,B,C}\) muszą się wyzerować, zaś \(\displaystyle{ D}\) wychodzi równe \(\displaystyle{ 1}\).

Żeby policzyć całkę z tego wyrażenia - bo podejrzewam, że o to chodzi - trzeba skorzystać z jakiegoś wzoru redukcyjnego, albo liczyć przez części, nie pamiętam teraz.

[Jelon]

tak, ten ułamek jest już rozłożony, a żeby rozwiązać całkę to warto rozpisać w liczniku \(\displaystyle{ 1+x^{2} - x^{2}}\) rozbić na sumę i pierwszą całkę od razu mamy gotową, a drugą przez części jak dobrze pamiętam

ewentualnie skorzystać z gotowego już wzoru. Jest wyprowadzony w Fichtenholtzu na pewno (chyba nawet jest podany w Krysickim Włodarskim...)

[mortan517]

380881.htm

[goku94]

Okej, dzięki. Rzeczywiście chodzi o całkę. A tak nawiasem, to po czym mogę to poznać, że się nie da już bardziej rozłożyć, tak jak tutaj?

Wzór rzeczywiście mam, ale nie potrafiłem sobie wyprowadzić, a uczyć się na pamięć nie mam ochoty. Jak dopadnę jakąś książkę to sobie przeczytam.

Za ostatnią odpowiedź też dziękuję