Równanie różniczkowe cząstkowe - sprawdzenie tożsamości

[gunoo]

\(\displaystyle{ \frac{d^2u}{ dx^{2} } - \frac{d^2u}{ dy^{2}} - \frac{du}{ dy } = 4u

gdzie

u = e^{-2x} \cdot f(x-y)}\)

Ja dowieść czy to prawda czy nie prawda?

[yorgin]

Wyliczając odpowiednie pochodne cząstkowe.

[gunoo]

Ale co to znaczy funkcja \(\displaystyle{ f(x-y)}\), to ma jakieś znaczenie?

[yorgin]

\(\displaystyle{ f}\) jest dowolną funkcją pewnej zmiennej, powiedzmy \(\displaystyle{ f=f(s)}\). Ty natomiast w miejsce zmiennej \(\displaystyle{ s}\) wstawiasz wyrażenie \(\displaystyle{ x-y}\) dostając funkcję postaci

\(\displaystyle{ (x,y)\mapsto f(x-y)}\).

Warto sobie odświeżyć obliczanie pochodnych funkcji wielu zmiennych, różniczkowanie złożenia i regułę łańcuchową. Wszystko to jest tutaj wykorzystywane.

[gunoo]

To ogólnie zrozumiałe, ale czy to ma znaczenie przy liczeniu pochodnych w tym przykładzie? Dlaczego nie jest napisane \(\displaystyle{ f(x,y)}\) tylko \(\displaystyle{ f(x-y) ?}\)

\(\displaystyle{ \frac{du}{dx} = -2 \cdot e^{-2x} \cdot f(x-y) + e^{-2x} \cdot \frac{d(f(x-y)) }{dx}}\)
\(\displaystyle{ \frac{d^{2}u}{dx^{2}} = 4 \cdot e^{-2x} \cdot f(x-y) -2 \cdot e^{-2x} \cdot \frac{d(f(x-y)) }{dx}) -2 \cdot e^{-2x} \cdot \frac{d(f(x-y)) }{dx} + e^{-2x} \cdot \frac{d^{2}(f(x-y)) }{dx^{2}}}\)


i tak dalej? Coś z tego wyniknie, bo jakoś tego nie widzę.

[M Ciesielski]

Bo \(\displaystyle{ f(x,y)}\) to wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) dwu zmiennych w punkcie \(\displaystyle{ (x,y) \in \mathbb{R}^2}\), a \(\displaystyle{ f(x-y)}\) to wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) jednej zmiennej w punkcie \(\displaystyle{ x-y \in \mathbb{R}}\). To nie jest to samo.

[gunoo]

No dobrze. Ale dalej nie wiem dlaczego \(\displaystyle{ f(x-y)}\) a nie na przykład \(\displaystyle{ f(x+y)}\) i jaki ma to wpływ na liczenie tych pochodnych. Może ktoś napisać jak rozwiązać to zadanie?

[M Ciesielski]

Chociażby taki, że w poleceniu masz tam minus. Policz pochodne cząstkowe \(\displaystyle{ \frac{\partial f(x-y)}{\partial y}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\partial f(x+y)}{\partial y}}\) to zobaczysz, że nie wyjdzie to samo.

[gunoo]

No właśnie o tę różnicę mi chodzi. Jak bym wiedział jak to policzyć to przecież bym posta nie umieszczał. Czy ktoś będzie na tyle łaskawy i napisze jak to obliczyć:

\(\displaystyle{ \frac{\partial f(x-y)}{\partial x} i \frac{\partial f(x-y)}{\partial y}}\)

?

[yorgin]

Jak pisałem wyżej, niech \(\displaystyle{ f=f(s)}\) oraz \(\displaystyle{ s=x-y}\). Wtedy ze zwykłego wzoru na pochodną złożenia:

\(\displaystyle{ \pfrac{f}{x}=\ddfrac{f}{s}\pfrac{s}{x}=f'(s)\cdot \pfrac{(x-y)}{x}=\ldots}\)

I tak samo druga pochodna.

[gunoo]

Czyli mam przyjmować że,
\(\displaystyle{ \frac{d(x-y)}{dx}= 1 \ a \ \frac{d(x-y)}{dy}= -1 \ ?}\)

a

\(\displaystyle{ \frac{d^2(x-y)}{dx^2}= 0 \ a \ \frac{d^2(x-y)}{dy^2}= 0 \ ?}\)

[yorgin]

A dlaczego przyjmować? Przecież te wartości pochodnych (poprawne) to skutek prostego różniczkowania funkcji. To jest efekt obliczeń, nie przyjmowania, że coś jest równe ileś.

[gunoo]

No niby tak, ale skąd wiemy jak wygląda funkcja f(s)? Dlaczego zakładamy że jest taka prosta, że pochodna będzie 1, a nie na przykłąd \(\displaystyle{ f(s)= s^2}\) i wtedy \(\displaystyle{ f(x-y)= (x-y)^2}\) ?

[yorgin]

No niby tak, ale skąd wiemy jak wygląda funkcja f(s)? Dlaczego zakładamy że jest taka prosta, że pochodna będzie 1, a nie na przykłąd \(\displaystyle{ f(s)= s^2}\) i wtedy \(\displaystyle{ f(x-y)= (x-y)^2}\) ?

Mały trening - przelicz na tym przykładzie odpowiednie pochodne.

\(\displaystyle{ f}\) ma tutaj być dowolną (odpowiedniej klasy) funkcją zmiennej \(\displaystyle{ s}\), gdzie pod tą zmienną \(\displaystyle{ s}\) podstawiamy potem \(\displaystyle{ x-y}\).

Jak chcesz, możesz podstawić \(\displaystyle{ f(s)=s^3+e^{\sin s^s}}\). Ale takie podstawianie nie ma sensu, gdyż masz sprawdzić to zadanie dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f}\).

[gunoo]

A widzisz, a ja byłem przekonany że to trzeba dowieść dla każdej funkcji, hmmm a Ty twierdzisz, że dla dowolnej, czyli takiej jak mi wygodnie. Ok, przeliczę to dla x-y.