macierz odwzorowania

kanarinios · Post autor: **kanarinios** » 8 lut 2015, o 20:23

Cześć,
mam problem z takim zadaniem:
Czy istnieje baza w \(\displaystyle{ R^{3}}\), w której macierz odwzorowania \(\displaystyle{ T:R^{3} \rightarrow R^{3}}\) danego przez:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} y_{1}=-x_{1}-x_{2}+2x_{3}\\y_{2}=-x_{1}+x_{3}\\y_{3}=2x_{1}+x_{2}+
-x_{3} \end{array}}\)
jest diagonalna? Jeśli tak, to podać bazę.
Nie wiem jak się za to zadanie zabrać, ani co mam zrobić, więc byłbym wdzięczny za każdą pomoc i łopatologiczne tłumaczenie

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 8 lut 2015, o 20:28

Napisz macierz tego odwzorowania w dowolnej bazie i sprawdź, czy się diagonalizuje.

kanarinios · Post autor: **kanarinios** » 8 lut 2015, o 20:37

ok, a jak zapisać macierz tego odwzorowania?

Sprzedawca · Post autor: **Sprzedawca** » 8 lut 2015, o 22:00

Mamy odwzorowanie \(\displaystyle{ (y_{1},y_{2},y_{3})=(-x_{1}-x_{2}+2x_{3},-x_{1}+x_{3},2x_{1}+x_{2}-x_{3})}\)
Kojarzymy z nią macierz: (w bazie kanonicznej)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} -1&-1&2\\-1&0&1\\2&1&-1\end{array}\right]}\)
Poprzez wypisanie wektorów w pionie.

Dziwi mnie trochę, że masz tam \(\displaystyle{ y_{1},y_{2},y_{3}}\) pierwszy raz widzę coś takiego, więc prosiłbym jeszcze, aby ktoś skorygował ewentualnie mojego posta.

kanarinios · Post autor: **kanarinios** » 8 lut 2015, o 23:31

dzięki, ten fragment już rozumiem , teraz jeżeli się nie mylę muszę policzyć wartości i wektory własne, tak ?

Sprzedawca · Post autor: **Sprzedawca** » 8 lut 2015, o 23:35

Tak, wektory własne tego odwzorowania w dowolnej przyjętej przez Ciebie bazie (tu: kanonicznej) będą wektorami bazowymi, w których macierz odwzorowania będzie diagonalna.