jak zwinąć w szereg wyrażenie
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-q)^2}}\)
gdzie \(\displaystyle{ 0 < |q| <1}\)
Proszę o pomoc.
szereg geometryczny
-
sympatia17
- Użytkownik
- Posty: 179
- Rejestracja: 8 sty 2012, o 12:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 3 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
szereg geometryczny
Ja bym raczej powiedział "rozwinąć w szereg", a nie zwinąć.
Ten ułamek to inaczej jest \(\displaystyle{ \frac{1}{1-q} \cdot \frac{1}{1-q}}\) czyli tak jakby \(\displaystyle{ \left( \sum_{n=0}^{ \infty }q ^{n} \right )\left( \sum_{n=0}^{ \infty }q^{n} \right)}\)
Teraz można by zadziałać wiedzą o iloczynie Cauchy'ego szeregów.
A inaczej:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-q)^{2}}}\) to jest pierwsza pochodna po \(\displaystyle{ q}\) funkcji \(\displaystyle{ f(q)= \frac{1}{1-q}}\). No ale \(\displaystyle{ \frac{1}{1-q}= \sum_{n=0}^{ \infty }q^{n}}\). Zróżniczkuj ten szereg wyraz po wyrazie i dostaniesz odpowiedź.
Ten ułamek to inaczej jest \(\displaystyle{ \frac{1}{1-q} \cdot \frac{1}{1-q}}\) czyli tak jakby \(\displaystyle{ \left( \sum_{n=0}^{ \infty }q ^{n} \right )\left( \sum_{n=0}^{ \infty }q^{n} \right)}\)
Teraz można by zadziałać wiedzą o iloczynie Cauchy'ego szeregów.
A inaczej:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-q)^{2}}}\) to jest pierwsza pochodna po \(\displaystyle{ q}\) funkcji \(\displaystyle{ f(q)= \frac{1}{1-q}}\). No ale \(\displaystyle{ \frac{1}{1-q}= \sum_{n=0}^{ \infty }q^{n}}\). Zróżniczkuj ten szereg wyraz po wyrazie i dostaniesz odpowiedź.
-
sympatia17
- Użytkownik
- Posty: 179
- Rejestracja: 8 sty 2012, o 12:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 3 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
szereg geometryczny
Myślę, że umiesz policzyć pochodną po \(\displaystyle{ q}\) takiego czegoś, jak \(\displaystyle{ q^{n}}\).
A ponieważ \(\displaystyle{ \left| q\right|<1}\) z założenia, to jesteśmy wewnątrz promienia zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } q^{n}}\). Więc możemy go zróżniczkować wyraz po wyrazie, czyli trochę tak, jakbyśmy korzystali z tego, że dla skończonej sumy pochodna tej sumy to suma pochodnych składników, a potem robili przejście graniczne.
A ponieważ \(\displaystyle{ \left| q\right|<1}\) z założenia, to jesteśmy wewnątrz promienia zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } q^{n}}\). Więc możemy go zróżniczkować wyraz po wyrazie, czyli trochę tak, jakbyśmy korzystali z tego, że dla skończonej sumy pochodna tej sumy to suma pochodnych składników, a potem robili przejście graniczne.