Udowodnienie nierówności

[zjm2014]

Cześć.
Mam udowodnić że dla \(\displaystyle{ x>0 ln(x+1) < x}\)

Ma ktoś jakiś pomysł na to zadanie?

[Zahion]

Pochodne ?
\(\displaystyle{ f(x) = ln(x+1)}\) , \(\displaystyle{ g(x) = x}\), stąd \(\displaystyle{ f^{'}(x)= \frac{1}{x+1}}\) oraz \(\displaystyle{ g^{'}(x)=(x)^{'} = 1}\). Zauważ, że dla \(\displaystyle{ x > 0}\) zachodzi \(\displaystyle{ 1 > \frac{1}{x+1}}\).

[zjm2014]

Ok dziękuje za pomoc - nie wiedziałem o tych pochodnych.

Czyli jeśli mamy dwie funkcje : f i g to mozemy stwierdzic ze skoro pochodna z f jest wieksza niz pochodna z g to funkcja f > funkcja g?

Ja myslalem że pochodne tylko nam mówią o tym jak szybko rośnie funkcja a nie jak duże są jej wartości.
Mógłbyś to jeszcze trochę wyjaśnić albo podac jakieś twierdzenie które o tym mówi?

[szachimat]

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\ln (x+1)-x}\)
Ta funkcja rośnie w przedziale \(\displaystyle{ (-1;0)}\), maleje w przedziale \(\displaystyle{ (0;+ \infty )}\) (co można wykazać za pomocą pochodnych) i ma miejsce zerowe \(\displaystyle{ x=0}\) (można to sprawdzić przez graficzne rozwiązanie równania \(\displaystyle{ \ln (x+1)=x}\)). Czyli dla \(\displaystyle{ x>0}\) przyjmuje wartości ujemne.
A zatem dla \(\displaystyle{ x>0}\) mamy: \(\displaystyle{ f(x)<0}\), czyli \(\displaystyle{ \ln (x+1)-x<0}\), czyli \(\displaystyle{ \ln (x+1)<x}\)

-- 8 lut 2015, o 19:02 --

Jeżeli np. \(\displaystyle{ f(x)= e^{x}}\) i \(\displaystyle{ g(x)=5}\)
Wówczas:\(\displaystyle{ f'(x)= e^{x}}\) i \(\displaystyle{ g'(x)=0}\)
Dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\):\(\displaystyle{ f'(x)>g'(x)}\), a to wcale nie oznacza, że \(\displaystyle{ f(x)>g(x)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) (nie ma takiego twierdzenia).