Baza i Wymiar odwzorowania liniowego

[mdcbnmw2000]

Cześć wszystkim.

Dane jest odwzorowanie : \(\displaystyle{ f(x,y,z,t) = (x + 2z + t,-2x + y -3z -5t,x - y + z + 4t)}\)
Znajdz \(\displaystyle{ \Im f}\) i \(\displaystyle{ \ker f}\).

Chciałbym zapytać o ogólny schemat wyznaczania tak \(\displaystyle{ \Im f}\) i \(\displaystyle{ \ker f}\).

Imf to podstawiam sobie po kolesi wektory z bazy kanonicznej \(\displaystyle{ (1,0,0,0) ... (0,0,0,1)}\)

i zbior wektorow uzyskanych jest tym \(\displaystyle{ \Im f}\).

Natomiast z kerf mam problem. Wyznaczylem \(\displaystyle{ x}\) i y za pomoca zmiennych \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ t}\). jednak nie wiem zbytnio co dalej.
Czy mógłby ktos pomóc ?

[bg5]

Imf to obraz przekształcenia, czyli wszystkie wektory, jakie możesz dostać, podstawiając do przekształcenia wektory z dziedziny. Ich postać ogólna będzie wyglądała tak:

\(\displaystyle{ (x + 2z + t,-2x + y -3z -5t,x - y + z + 4t)}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y,z}\) i \(\displaystyle{ t}\) to dowolne liczby rzeczywiste (o ile działamy w zbiorze liczb rzeczywistych).

Teraz odpowiednio przekształcamy tę postać:

\(\displaystyle{ (x + 2z + t,-2x + y -3z -5t,x - y + z + 4t) = (x,-2x,x)+(0,y,-y)+(0,-3z,z)+(t,-5t,4t)=x(1,-2,1)+y(0,1,-1)+z(0,-3,1)+t(1,-5,4)}\)

Czyli widzimy, że wektory tworzące obraz przekształcenia są kombinacją liniową tych czterech wektorów. Teraz musielibyśmy sprawdzić liniową niezależność tych wektorów (maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów to wymiar Imf) i z tych, które będą liniowo niezależne, utworzyć bazę.

Kerf to te wektory należące do dziedziny, których obrazem w przekształceniu są wektory zerowe. A żeby dowiedzieć się, jakie wektory spełniają ten warunek, musimy po prostu rozwiązać taki układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x + 2z + t=0 \\ -2x + y -3z -5t=0 \\ x - y + z + 4t=0 \end{cases}}\)

To da nam postać ogólną tych wektorów, którą analogicznie jak poprzednio rozkładamy na części pierwsze i dostajemy jakąś kombinację liniową.

Przy okazji, do tego typu zadań istnieje przydatny wzór:

\(\displaystyle{ dimDomf=dimImf+dimKerf}\)

Czyli wymiar dziedziny przekształcenia jest równy sumie wymiarów obrazu i jądra przekształcenia.

[mdcbnmw2000]

Dziękuję Ci bardzo,dobrze i dokładnie wytłumaczone.
Mam nadzieję że ten temat pomoże jeszcze nie jednej osobie w przyszłości.

Oby jak najwięcej użytkowników takich jak Ty.

[Sprzedawca]

Miałbym pytanie do tego zadania, czy aby ustalić liczbę liniowo niezależnych wektorów trzeba rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a-2b+c=0\\
b+c=0\\
2a-3b+c=0\\
a-5b+4c=0\\
\end{cases}}\)

I jeśli rozwiązanie jest jedno w postaci \(\displaystyle{ a=b=c=0}\) to czy wtedy mamy \(\displaystyle{ dimImf=4 ?}\)
Co jeśli będzie rozwiązanie będzie zależało od jakiegoś parametru?

[bg5]

Ale skąd dokładnie wziął się ten układ równań? Co oznaczają niewiadome?

[Sprzedawca]

Niewiadome to współczynniki, może nie tak oznaczone jak powinny być, a wartości przy a, b, c to wektory tworzące obraz. Chcę sprawdzić, czy są liniowo niezależne.

[bg5]

Liniową niezależność wektorów najlepiej sprawdzać, licząc rzędy. Po prostu zapisujesz te wektory kolumnami w macierzy i liczysz jej rząd. Wynik to maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów, a wektory, które wykreślisz, licząc rząd, na pewno są liniowo niezależne.

[Sprzedawca]

Aha, no tak. Dzięki za odpowiedź