Pole obszaru ograniczonego krzywą.

[Michau13245]

Zadanie brzmi:

"Wykorzystując współrzędne biegunowe naszkicuj krzywą o równaniu:

\(\displaystyle{ ( x^{2} + y^{2} ) ^{2} = 4xy}\)

w ukł. wsp. kart. Następnie oblicz pole obszaru ograniczonego przez tę krzywą.

Założenie zrobiłem takie, że \(\displaystyle{ xy \ge 0}\)

I teraz moje pytania brzmią:

1. Jak wyznaczyc granice całkowania? Tzn, czy to się ZAWSZE robi w ten sposób, że po zamianie na biegunowe wyznaczam tak jakby dziedzinę tego? Pokażę na tym konkretnym przypadku:

wyszło mi, że \(\displaystyle{ r= \sqrt{2sin2 \alpha }}\) czyli obszar wyznaczam w ten sposób, że :
\(\displaystyle{ 2sin2 \alpha \ge 0}\) ?

Bo znalazłem drugi sposób który "zgubił" moje myślenie, mianowicie taki, że \(\displaystyle{ 2sin2 \alpha = 1}\) (no bo \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\))

I teraz już nie wiem jak mam wyznaczyc te granice..

[jarek4700]

Czemu uważasz, że \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2} = 1}\)?

Zobacz w jakim przedziale jest kąt. \(\displaystyle{ 2\sin 2\alpha \ge 0 \Rightarrow \alpha \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)}\)

Co daje sumę całek: \(\displaystyle{ P = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\sqrt{2\sin 2\alpha}}rdrd\phi + \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{0}^{\sqrt{2\sin 2\alpha}}rdrd\phi}\)

Zauważ że punkt \(\displaystyle{ (x,y)}\) należy do wykresu krzywej wtedy i tylko wtedy gdy punkt \(\displaystyle{ (-x,-y)}\) należy do jej wykresu. Wniosek - krzywa jest środkowo symetryczna. Zatem wystarczy policzyć jedną z całek w tej sumie i pomnożyć przez dwa.

[Michau13245]

Ok, no właśnie gdzieś na jakimś innym forum znalazłem zadanie i to mnie zmyliło, chciałem się upewnic, że jednak ja myślę dobrze.. Dzięki!