Objętośc stożka obrotowego.

[Michau13245]

Mam problem z tym zadaniem:

Znajdź najwiekszą objętośc stożka obrotowego wpisanego w kulę o promieniu R.

Problem już niestety pojawia się na początku zadania, ponieważ nie bardzo wiem jak uzależnic niektóre zmienne od innych..

[Dilectus]

Niech:

\(\displaystyle{ r \quad - \quad \text{promień podstawy stożka}\\ h \quad - \quad \text{wysokość stożka}}\)

Mamy wówczas

\(\displaystyle{ R^2=r^2+h^2 \quad \text {(z tw. Pitagorasa)}}\)

\(\displaystyle{ h= \sqrt{R^2-r^2}}\)

Objętość stożka:

\(\displaystyle{ V(r) = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot \sqrt{R^2-r^2}}\)

Liczysz maksimum tej funkcji \(\displaystyle{ V_{max}}\) i promień podstawy stożka \(\displaystyle{ r_{max}}\), przy którym to maksimum zachodzi.

Mnie wyszło

\(\displaystyle{ r_{max}= \frac{ \sqrt{6} }{3}R }}\)

\(\displaystyle{ V_{max}= \frac{2 \sqrt{15} }{27}\pi R^3}\)

ale mogłem się gdzieś rąbnąć...

[Michau13245]

Skąd niby zależnośc \(\displaystyle{ R^{2} = h^{2}+ r^{2}}\) ? Czemu zastosowałeś tutaj twierdzenie Pitagorasa, wydaje mi się, że jest błędnie ponieważ to nie będzie równe \(\displaystyle{ R^{2}}\)

[Dilectus]

Rzeczywiście, tu się rąbnąłem. Powinno być tak:

\(\displaystyle{ h= \sqrt{R^2-r^2}+R}\)

Narysuj okrąg o promieniu R i wpisz weń trójkąt równoramienny o podstawie \(\displaystyle{ 2r}\) i sprawdź to. Będzie to przekrój osiowy przez kulę i wpisany w nią stożek o wysokości \(\displaystyle{ h}\) i promieniu podstawy \(\displaystyle{ r}\).

Wstaw to \(\displaystyle{ h}\) do wzoru na objętość stożka, policz pochodną i znajdź maksimum.

\(\displaystyle{ V(r) = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot \left( \sqrt{R^2-r^2}+R\right)}\)

Przepraszam, robiłem to zadanie w ogromnym pośpiechu, stąd te błędy...

[Michau13245]

Nie rozumiem skąd ten wzór na h.. Mógłbyś troszkę jaśniej? Będę bardzo wdzięczny!

[Dilectus]

Zrób rysunek okręgu o środku \(\displaystyle{ O}\) i promieniu \(\displaystyle{ R}\) z wpisanym trójkątem równoramiennym o wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) w najwyższym punkcie okręgu i podstawie \(\displaystyle{ AB}\) równej średnicy podstawy stożka \(\displaystyle{ 2r}\). Oznaczmy wysokość tego trójkąta przez \(\displaystyle{ h}\). Połączmy wierzchołek \(\displaystyle{ B}\) trójkąta ze środkiem okręgu promieniem \(\displaystyle{ R}\). Oznaczmy wreszcie spodek wysokości tego trójkąta przez \(\displaystyle{ D}\).
Popatrzmy na trójkąt \(\displaystyle{ ODB}\) i policzmy długość odcinka \(\displaystyle{ \left| OD\right|}\)

\(\displaystyle{ \left| OD\right|= \sqrt{R^2-r^2} \quad \text{(tw. Pitagorasa)}}\)

\(\displaystyle{ h=R+\left| OD\right|=R+\sqrt{R^2-r^2}}\)

[Michau13245]

Super, dzięki! Teraz już jasne, trzeba wszystko ładnie na rysunku zaznaczac..

A mógłbyś mi pomóc jeszce z tymi zadaniami? Teraz porobiłem pare i znów z tymi pojawił się problem...

1. "Wyznacz najmniejsze pole stożka obrotowego opisanego na półkuli o promieniu R, gdzie podstawy kuli i stożka leżą na jednej płaszczyźnie, a ich środki są współliniowe"



Czy w tym przypadku jeżeli r-promień stożka oraz R promień półkuli to nie będzie tak, że \(\displaystyle{ R=r?}\)

[Dilectus]

A mógłbyś mi pomóc jeszce z tym zadaniem?

Dobrze, ale to już jutro, bo dziś, o pierwszej w nocy, już padam twarzą na pysk. Zatem do jutra.

[Michau13245]

OK, super, więc jak coś to czekam! Dzięki!

[Dilectus]

Narysujmy sytuację w przekroju. Będzie to trójkąt równoramienny \(\displaystyle{ ABC}\), gdzie C jest wierzchołkiem stożka., a bok \(\displaystyle{ AB}\) - przekrojem podstawy stożka o promieniu r. W ten trójkąt wpiszmy pół okręgu o promieniu R. Jego środek \(\displaystyle{ O}\) będzie w środku podstawy \(\displaystyle{ AB}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Oznaczmy wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka C jako \(\displaystyle{ h}\) i prawy punkt styczności jako \(\displaystyle{ D}\) i poprowadźmy przez tan punkt promień \(\displaystyle{ R}\) okręgu. Oznaczmy również przez \(\displaystyle{ l}\) bok \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta. Będzie to tworząca stożka. Wreszcie oznaczmy kąt rozwarcia stożka, a więc \(\displaystyle{ \angle ACB}\) jako \(\displaystyle{ 2\alpha}\)

Pole powierzchni stożka, jak wiadomo, będzie

\(\displaystyle{ S=\pi r^2+\pi r l}\)

Z rysunku wynika, że

\(\displaystyle{ r= \frac{R}{\cos \alpha}}\)

\(\displaystyle{ l= \frac{R}{\sin \alpha \cos \alpha}}\)

Po prostych przeliczeniach otrzymamy powierzchnię stożka \(\displaystyle{ S}\) w funkcji kąta \(\displaystyle{ \alpha}\)

\(\displaystyle{ S\left( \alpha \right) = \frac{\pi R^2}{\cos^2 \alpha}\left( 1+ \frac{1}{\sin \alpha} \right)}\)

Sprawdźmy, gdzie jest minimum tej funkcji.

Liczymy pochodną:

\(\displaystyle{ S'(\alpha) = \frac{2\pi R^2}{\cos^3 \alpha}\left( \sin \alpha +1\right) - \frac{\pi R^2}{\cos \alpha\sin^2 \alpha}}\)

Łatwo policzyć, że

\(\displaystyle{ S'(\alpha)=0 \ \Leftrightarrow \ 2 \sin^3 \alpha+ 3\sin^2 \alpha -1 =0}\)

skąd \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{6}}\)

Łatwo pokazać, że w dla tego kąta jest minimum funkcji \(\displaystyle{ S(\alpha)}\)

A zatem stożek opisany na półkuli o promieniu \(\displaystyle{ R}\) będzie miał minimalną powierzchnię wtedy, gdy jego kąt rozwarcia będzie równy \(\displaystyle{ 2\alpha= \frac{\pi}{3}}\)-- 5 lut 2015, o 17:11 --Zadania 2 i 3 umieść w osobnych wątkach, bo nie dotyczą one objętości stożka.

[Michau13245]

Nie widzę tego rysunku.. Mógłbys pokazac jak ona wygląda? Bo ja jak cały czas rysuje to mi wychodzi, że \(\displaystyle{ r=R}\)..

[Dilectus]

Nie wiem, jak Ci przesłać rysunek, więc dam konkretne instrukcje.

1. Narysuj poziomą prostą \(\displaystyle{ a}\)

2. Wybierz na tej prostej punkt \(\displaystyle{ O}\). Będzie to środek okręgu \(\displaystyle{ k}\) o promieniu \(\displaystyle{ R}\).

3. Przez punkt \(\displaystyle{ O}\) poprowadź prostą \(\displaystyle{ b}\) prostopadłą do prostej \(\displaystyle{ a}\)

4. Narysuj górną połowę okręgu \(\displaystyle{ k}\)

5. Poprowadź dwie nierównoległe proste \(\displaystyle{ p \ \text{i} \ q}\) symetryczne wzgl. prostej \(\displaystyle{ b}\) aż do przecięcia się ich z prostą \(\displaystyle{ b}\) w punkcie \(\displaystyle{ C}\) i z prostą \(\displaystyle{ a}\) w punktach \(\displaystyle{ A \ \text {i} \ B}\), styczne do okręgu \(\displaystyle{ k}\) w punktach \(\displaystyle{ P \ \text {i} \ Q}\). Zauważ, że odcinek \(\displaystyle{ BC}\) jest tworzącą \(\displaystyle{ l}\) stożka.

6. Oznacz \(\displaystyle{ \angle OCB}\) przez \(\displaystyle{ \alpha}\). Jest to połowa kąta rozwarcia stożka.

Rysunek przedstawia przekrój osiowy stożka o promieniu \(\displaystyle{ r}\) i wpisanej w niego półkuli o promieniu \(\displaystyle{ R}\).

Odcinek \(\displaystyle{ OH}\) jest wysokością \(\displaystyle{ h}\) stożka, a więc wysokością trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)

Popatrz na podobne trójkąty prostokątne \(\displaystyle{ OBC, \quad OQC, \quad OBQ}\), poukładaj proporcje i określ funkcje trygonometryczne kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) w tych trzech trójkątach.-- 5 lut 2015, o 23:44 --P.S. Zauważ, że przekrój osiowy stożka o kącie rozwarcia \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) jest trójkątem równobocznym.