Centralne Twierdzenie Graniczne

akermann1 · Post autor: **akermann1** » 3 lut 2015, o 20:54

Witam mam następujące zadanie do rozwiązania:

Prawdopodobieństwo dostrzeżenia sztucnego satelity z określonego punktu obserwacyjnego na Ziemi jest równe \(\displaystyle{ p=0.1}\). Korzystając z Centralnego Twierdzenia Granicznego oszacować liczbę \(\displaystyle{ n}\) lotów jaką powinien wykonać nad punktem obserwacyjnym satelita aby z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0.9}\) liczba \(\displaystyle{ Y_{n}}\) dostrzeżen była nie mniejsza niż \(\displaystyle{ 10}\).

Mój tok rozumowania:

\(\displaystyle{ n}\) - ilość lotów
\(\displaystyle{ p = 0.9}\) - prawdopodobieństwo dla \(\displaystyle{ Y_{n}}\)

Z Ctg mamy:

\(\displaystyle{ 1 - \Phi \left( \frac{10 - 0.1n}{ \sqrt{0.09n} } \right) =0.9}\) i to dalej można liczyć pytanie czy dobrze zacząłem robić to zadanie.

@Edit to policzę jak dalej mi wyszło

\(\displaystyle{ \Phi \left( 10-0,1n \cdot \frac{10}{3 \sqrt{n}} \right)}\)

\(\displaystyle{ \Phi \left( \frac{100-n}{3 \sqrt{n} } \right) = 0.9}\)

I tutaj się stopuję.... Proszę o pomoc w odpowiedzi mam około \(\displaystyle{ 1,29}\)

nowik1991 · Post autor: **nowik1991** » 4 lut 2015, o 08:14

Podbijam. Jak to zrobić?

akermann1 · Post autor: **akermann1** » 4 lut 2015, o 14:26

_radek · Post autor: **_radek** » 4 lut 2015, o 23:58

szukasz jakie jest prawdopodobieństwo że suma tych twoich prób da co najmniej dziesięć (\(\displaystyle{ 1}\) jako zobaczył, \(\displaystyle{ 0}\) jako nie zobaczył) więc chcemy znaleźć takie \(\displaystyle{ n}\) żeby:
\(\displaystyle{ P(S_{n} \ge 10) \ge 0.9}\)
dla dużych nów z ctg to będzie prawie rozkład normalny, więc:
standaryzujemy
\(\displaystyle{ P(\frac{S_{n}-n0.1}{\sqrt{0.09n}} \ge \frac{10-n0.1}{\sqrt{n0.09}}) \ge 0.9}\) szukamy w tablicach dystrybuanty takiego miejsca od którego jest ok, to jest \(\displaystyle{ 1.3}\) i rozwiązujemy równanie \(\displaystyle{ 1.3=\frac{10-n0.1}{\sqrt{n0.09}}}\)... wychodzi coś dziwnie mało bo trochę ponad \(\displaystyle{ 60}\) więc gdzieś musi być błąd, ale nie widzę... bo tak na intuicyjnie to powinno wyjść co najmniej w okolicach wartości oczekiwanej (\(\displaystyle{ 100}\))

akermann1 · Post autor: **akermann1** » 5 lut 2015, o 13:30

Przepraszam a czy mógłbyś wrzucić rachunki jak doszedłeś do tego 60 albo jak to odczytać? Bo albo ja źle zamieniam na równanie kwadratowe albo coś wychodzi mi źle...

@Edit

Skąd wszyscy na oko widzą ile wyjdzie...

_radek · Post autor: **_radek** » 5 lut 2015, o 14:27

wrzuciłem w wolframa i pokazało sześćdziesiąt kilka
\(\displaystyle{ 1.3sqrt{0.09n}=10-0.1n \
1.69 cdot 0.09n=100-2n+0.01n^{2}\
0=0.01n^{2}-1.8479n+100\
coś się pomyliłem bo delta wychodzi ujemna....}\)

akermann1 · Post autor: **akermann1** » 5 lut 2015, o 15:02

hmm

\(\displaystyle{ 1.69 \cdot 0.09n = 0.1521n}\)

więc nie trzeba tej wartości odjąć od \(\displaystyle{ 2n}\) a nie od \(\displaystyle{ 100}\)

_radek · Post autor: **_radek** » 5 lut 2015, o 15:04

właśnie zauważyłem teraz delta wychodzi ujemna wiec... nie wiem o co chodzi...

akermann1 · Post autor: **akermann1** » 5 lut 2015, o 15:09

a jak byśmy poszli tym tropem:

\(\displaystyle{ \Phi \left( \frac{100-n}{3 \sqrt{n} } \right) = 0.9}\) i z tego zrobić równanie kwadratowe?

_radek · Post autor: **_radek** » 5 lut 2015, o 15:19

szczerze mówiąc nie mam pojęcia skąd Ci się to wzięło ale jak tak no to możesz nałożyć na obie strony \(\displaystyle{ \Phi^{-1}}\) i masz \(\displaystyle{ \frac{100-n}{3\sqrt{n}}=1.29}\)

akermann1 · Post autor: **akermann1** » 5 lut 2015, o 15:22

Właśnie taka jest odpowiedź tylko pytanie może głupie ale się dopiero uczę..\(\displaystyle{ \Phi ^{-1}}\) co to znaczy lub jak to odczytać? Bo nie mam bladego pojęcia...

_radek · Post autor: **_radek** » 5 lut 2015, o 16:36

jak mamy funkcję (akurat w tym przypadku dystrybuantę rozkładu normalnego), która jest bijekcją (1-1, ,,na") taką że \(\displaystyle{ \Phi(x)=y}\) to funkcja odwrotna \(\displaystyle{ \Phi^{-1}}\) to taka funkcja że \(\displaystyle{ \Phi^{-1}(y)=x}\)