Homomorfizm grup

[kam51]

Czy grupy \(\displaystyle{ (Z _{6}, +)}\) i \(\displaystyle{ (Z, +)}\) są homomorficzne? Co ja właściwie powinienem tutaj sprawdzić?

[szw1710]

Homomorfizm istnieje zawsze - np. zerowy. Więc nie o to jest pytanie. Np. możesz pytać czy istnieje epimorfizm tych grup albo izomorfizm. Izomorfizmu nie ma z prostego powodu. A homomorfizmem jest np. reszta modulo \(\displaystyle{ 6}\). Jest to epimorfizm \(\displaystyle{ \ZZ}\) na \(\displaystyle{ \ZZ_6}\). Izomorficzne są natomiast (ale to poza konkursem) grupa ilorazowa \(\displaystyle{ \ZZ/_{6\ZZ}}\) z \(\displaystyle{ \ZZ_6}\).

[kam51]

Miałem podane takie pytanie, nie wiem czy to jest dobrze napisane czy źle. Więc jaka jest w końcu odpowiedź?

[szw1710]

Rozważ \(\displaystyle{ f:\ZZ\to\ZZ_6}\) dane wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x\mod 6}\). Jakie własności ma to odwzorowanie?

[kam51]

Nie wiem, jestem zielony w rozwiązywaniu tego typu zadań.

[Kartezjusz]

Zapisz sobie wszystko powoli. Jakie cechy ma homomorfizm.

[kam51]

Odwzorowanie \(\displaystyle{ f}\) z \(\displaystyle{ X}\) w \(\displaystyle{ Y}\) jest homomorfimem gdy spełniony jest warunek \(\displaystyle{ h(x+y) = h(x) \cdot h(y)}\) gdzie \(\displaystyle{ +}\) jest relacją przemienności a \(\displaystyle{ \cdot}\) relacją łączności, czyli homomorfizm zachowuje strukturę na zbiorach.

I co dalej? Naprawdę nie mam pojęcia co dalej zrobić.

[krl]

Co dalej zrobić? Poznać i zrozumieć prawdziwą definicję homomorfizmu grup. I przy okazji, Twoje pytanie z pierwszego postu w tym wątku jest bez sensu. Nie istnieje pojęcie "grupy homomorficzne". W związku z tym na takie bezsensowne pytanie nie mozna sensownie odpowiedzieć.

[kam51]

także tego