Hej Czy ktoś mógłby pomóc mi z następującą granicą:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{ x^{5} + 2y^{3} }{ x^{4} + y^{2} }}\)
Z góry dziękuję za pomoc
Granica funkcji dwóch zmiennych
-
Emce1
- Użytkownik
- Posty: 129
- Rejestracja: 20 lis 2010, o 19:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: krk
- Pomógł: 8 razy
Granica funkcji dwóch zmiennych
\(\displaystyle{ \frac{x^{5}+2y^{3}}{x^{4}+y^{2}}=x+\frac{2y^{3}-xy^{2}}{x^{4}+y^{2}}=x+\frac{2y-x}{(\frac{x^{2}}{y})^{2}+1}}}\)
\(\displaystyle{ \left|x+\frac{2y-x}{(\frac{x^{2}}{y})^{2}+1}} \right| \le \left| x\right| +\left|\frac{2y-x}{(\frac{x^{2}}{y})^{2}+1}}\right| \le \left| x\right| +\left| 2y-x\right| \le 2\left| x\right| + 2\left| y\right| \rightarrow 0+0=0}\)
Nierówności zachodzą ze względu na nierówność trójkąta oraz fakt, że w mianowniku masz wyrażenie zawsze większe od 1.
\(\displaystyle{ \left|x+\frac{2y-x}{(\frac{x^{2}}{y})^{2}+1}} \right| \le \left| x\right| +\left|\frac{2y-x}{(\frac{x^{2}}{y})^{2}+1}}\right| \le \left| x\right| +\left| 2y-x\right| \le 2\left| x\right| + 2\left| y\right| \rightarrow 0+0=0}\)
Nierówności zachodzą ze względu na nierówność trójkąta oraz fakt, że w mianowniku masz wyrażenie zawsze większe od 1.